Импликация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Импликация
Не больше, IMPLY
Диаграмма Венна
Диаграмма Венна
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная
Конъюнктивная
Полином Жегалкина
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0 Нет
Сохраняет 1 Да
Монотонна Нет
Линейна Нет
Самодвойственна Нет

Имплика́ция (от лат. implicatio «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4].

Булева логика[править | править код]

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция  — это сокращённая запись выражения .

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, ) (материальная импликация  (англ.), материальный кондиционал  (англ.))

  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, )

  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ()

  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (), разряд займа в двоичном полувычитателе.

  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке[править | править код]

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдёт Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А
  • А имплицирует Б
  • А влечёт Б

Многозначная логика[править | править код]

Теория множеств[править | править код]

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом , и ей соответствует вложение множеств: пусть , тогда

Например, если  — множество всех квадратов, а  — множество прямоугольников, то, конечно, и

(a — квадрат) (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика[править | править код]

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации формуле (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика[править | править код]

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде , где  — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов[править | править код]

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика[править | править код]

В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
  • Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
  • Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
  • Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
  • Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.

Ссылки[править | править код]