Автокорреляционная функция

График 100 случайных величин, суммированный с синусоидальным сигналом малой амплитуды. График автокорреляционной функции позволяет увидеть периодичность в ряде данных.

Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой по аргументу функции копией от величины сдвига.

Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала $f(t)$ определяется интегралом:

$\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t,$

и показывает связь сигнала (функции $\;f(t)$) с копией самого себя, смещённого на величину $\tau$. Звёздочка означает комплексное сопряжение.

Для случайных процессов АКФ случайной функции $X(t)$ имеет вид:

$K(t,\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\}$,

где $\mathbb {E} \{\ \}$ — математическое ожидание, звёздочка означает комплексное сопряжение.

Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека.

Применение в технике

Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение АКФ играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Другие применения

Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов (см., например: Турчин П. В. Историческая динамика. М.: УРСС, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.

Скоростное вычисление

Часто приходится вычислять автокорреляционную функцию для временного ряда $x_{i}$. Вычисление «в лоб» работает за $O(T^{2})$. Однако есть способ сделать это за $O(T\log T)$.

Метод основан на теореме Хинчина — Колмогорова (она же Винера — Хинчина), утверждающей, что автокорреляционная функция сигнала есть фурье-образ его спектральной плотности мощности. Поскольку для дискретных сигналов для вычисления их спектров существует алгоритм быстрого преобразования Фурье, имеющий порядок сложности $O(T\log T)$, то имеется возможность ускорить вычисление автокорреляционной функции за счет вычисления спектра сигнала, затем его мощности (квадрата модуля) и затем обратного фурье-преобразования.

Суть способа состоит в следующем. Можно сделать некое обратное взаимно однозначное преобразование данных, называемое преобразованием Фурье, которое поставит им во взаимно однозначное соответствие набор данных в другом пространстве, называемом пространством частот (частотный спектр сигнала — набор спектральных амплитуд). Вместо прямого вычисления автокорреляционной функции на наших исходных данных можно произвести соответствующую ей операцию над соответствующими данными в пространстве частот Фурье-спектра, что делается за линейное время O(T) — вычислению автокорреляционной функции в пространстве частот соответствует вычисление мощностей частот возведением в квадрат модулей спектральных амплитуд. После этого мы по полученным спектральным мощностям восстановим соответствующие им в обычном пространстве значения автокорреляционной функции. Вычисление спектра по функции и обратно делается с помощью быстрого преобразования Фурье за $O(T\log T)$, вычисление спектральной плотности мощности в пространстве частот — за O(T). Таким образом, мы получили выигрыш по времени при вычислениях.

Подготовка. Вычитаем из ряда среднее арифметическое. Преобразуем в комплексные числа. Дополняем нулями до $2^{k}$. Затем дописываем в конец ещё $2^{k}$ нулей.

Вычисление. Автокорреляционная функция вычисляется с помощью быстрого преобразования Фурье и прямо пропорциональна первым $n$ элементам последовательности:

$\Psi (\tau )\sim \operatorname {Re} \operatorname {fft} ^{-1}\left(\left|\operatorname {fft} ({\vec {x}})\right|^{2}\right).$

Квадрат комплексного модуля берётся поэлементно:

$\left|{\vec {a}}\right|^{2}=\left\{\operatorname {Re} ^{2}a_{i}+\operatorname {Im} ^{2}a_{i}\right\}$.

Если нет погрешностей вычисления, мнимая часть будет равна нулю. Коэффициент пропорциональности определяется из требования $\Psi (0)=1$.

См. также

• Теорема Хинчина — Колмогорова
• Корреляционная функция
• Взаимнокорреляционная функция
• Периодическая функция
• Корреляция
• Критерий Дарбина — Уотсона
• Дисперсия случайной величины
• Свёртка (математический анализ)

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB