Анализ полных наблюдений

Пример анализа полных наблюдений. В ходе построения регрессии $Y$ на $X_{1},X_{2},X_{2}$ анализ полных наблюдений будет заключаться в удалении наблюдений у которых есть пропущенные значения (NA)

Анализ полных наблюдений (англ. listwise/casewise deletion, реже англ. complete-case analysis) — статистический метод обработки пропущенных данных, основанный на удалении всех наблюдений с неполными признаковыми описаниями. Считается самым простым способом разрешения проблемы пропущенных данных.

Оценка регрессий при анализе полных наблюдений

Представим линейную регрессионную модель вида $\mathbf {Y} =\mathbf {X\beta } +\mathbf {\epsilon }$, где $\mathbf {Y}$ — вектор целевых значений, $\mathbf {X}$ — матрица значений независимых переменных, $\mathbf {\beta }$ — вектор регрессионных коэффициентов, $\mathbf {\epsilon }$ — вектор регрессионных остатков.

Пусть $O_{i}=1$, если i-е наблюдение имеет полное признаковое описание и $O_{i}=0$ в противном случае — то есть $\mathbf {O} =\mathrm {diag} (O_{1},...,O_{n})$. Тогда модель с использованием исключительно полных наблюдений будет формулироваться следующим образом: $\mathbf {OY=OX\theta +O\varepsilon }$, где $\theta$ и $\varepsilon$ — векторы новых регрессионных коэффициентов и остатков соответственно.

МНК-оценка вектора $\theta$ в таком случае выглядит следующим образом: $\mathbf {{\hat {\theta }}=\beta +(X'OX)^{-1}X'\epsilon }$.

Ограничения метода

Анализ полных наблюдений позволяет получать несмещённые оценки при регрессионном анализе (с использованием МНК) при условии, что вероятность пропуска значения ($P(O_{i}=0)$) зависит от независимых переменных ($\mathbf {X}$), а не регрессионных остатков ($\mathbf {\epsilon }$). Действительно, смещённость оценок может быть связана с тем, что пропуск данных не случаен (MNAR, англ. Missing not at random). Например, респонденты отказываются отвечать на какой-то сензитивный вопрос — в таком случае в выборке останутся только те респонденты, которые (по каким-то причинам) склонны отвечать на вопросы определённого типа. Данное условие может не выполняться в двух случаях:

• Невключение какой-то значимой переменной (omitted variable).
• Неверная спецификация одной из независимых переменных (то есть включённая переменная некорректно отражает другую, «истинную»).

Кроме того, вероятность пропуска может быть связана и с откликом ($\mathbf {Y}$). Помимо этого условия несмещённости, определённого для «истинной» линейной регрессионной модели, большую роль играет корректность выбора функциональной формы зависимости между независимой и зависимой переменными. Эти допущения зачастую не работают в социальных науках: верная спецификация моделей и точная функциональная форма редко бывают доподлинно известны.

Использование методики анализа полных наблюдений приводит к уменьшению размера исследуемой выборки, что также создаёт проблемы. Это сокращает статистическую мощность критериев, которые могут применяться на данных. Кроме того, метод может привести к получению неэффективных оценок, если удаление наблюдений значительно сократит объясняемую дисперсию.

Сравнение с другими методами

В случаях, когда изложенные недостатки и ограничения анализа полных наблюдений имеют место быть, рекомендуется прибегать к альтернативным, более сложным методам обработки пропущенных данных: попарное удаление пропущенных наблюдений (англ. pairwise deletion), введение дамми на пропуск, а также множественная импутация (англ. multiple imputation). Литтл и Рубин отмечали, что анализ полных наблюдений приводит к потере неоправданного объёма дисперсии, если статистический метод подразумевает исследование одной переменной (например, нахождение среднего значения), ведь в таком случае из выборки будут исключены даже те наблюдения, у которых значения в этой переменной не пропущены, и рекомендовали для таких случаев простую замену — анализ доступных значений.

Тем не менее, в ряде случаев анализ полных наблюдений может обладать преимуществами по сравнению с более сложными альтернативами.

Анализ полных наблюдений широко используется в анализе «intent-to-treat», широко распространённом в экономике образования, где средний эффект от вмешательства на полных наблюдениях сравнивается с эффектом, рассчитанным с включением наблюдений с неполными признаковыми описаниями.

В статистических пакетах

• В SPSS использование методики анализа полных наблюдений при корреляционном, регрессионном и других типах статистического анализа осуществляется посредством включения подкоманды /MISSING=LISTWISE в синтаксис применяемой функции.
• В Stata при построении регрессий, корреляционных и ковариационных матриц по умолчанию удаляются наблюдения с пропущенными значениями.
• В R есть несколько способов применения анализа полных наблюдений: стандартные функции na.omit(), complete.cases() и параметр na.rm = TRUE, «механически» удаляющие наблюдения с пропущенными значениями переменных, а также функция ld() для матричных объектов из пакета (библиотеки) ForImp.

Литература

• Allison P. D. Missing Data. — Thousand Oaks, CA: Sage, 2001. — (Sage University Papers Series on Quantitative Applications in the Social Sciences).
• Jones M. P. Indicator and Stratification Methods for Missing Explanatory Variables in Multiple Linear Regression // Journal of the American Statistical Association. — 1996. — Т. 91, № 433. — P. 222—230.
• Little R.J.A., Rubin D.B. Statistical Analysis with Missing Data. — Wiley, 2002. — 408 p. — ISBN 978-0-471-18386-0.
• Olinsky A., Chen S., Harlow L. The comparative efficacy of imputations methods for missing data in structural equation modeling // European Journal of Operational Research. — 2003. — Т. 151, № 1. — P. 53–79. — doi:10.1016/S0377-2217(02)00578-7.
• Peugh J. L., Enders C. K. Missing data in educational research: A review of reporting practices and suggestions for improvement. // Review of Educational Research. — 2004. — № 74. — P. 525—556.
• Roth P. L. Missing data: A conceptual review for applied psychologists // Personnel Psychology. — 1994. — Т. 47, № 3. — P. 537–559. — doi:10.1111/j.1744-6570.1994.tb01736.x.
• Samii C. Data, Missing // International Encyclopedia of Political Science / Badie B., Berg-Schlosser D., Morlino L. — Sage, 2011. — Т. 2. — P. 518—520.

Ссылки

• Missing Data: Listwise vs. Pairwise. Statistics Solutions.