Возникновение математики

Данная статья — часть обзора История математики.

Современная математика изучает абстрактные структуры совершенно различной природы (множества, высказывания, логические языки, функции), но её основным объектом изучения изначально были понятия натурального числа и геометрической фигуры, возникшие из практической деятельности человека.

И хотя считается, что математика, как систематическая наука появилась только в Древней Греции, её история начинается уже с появления этих понятий.

Понятия натурального числа и геометрической фигуры возникли задолго до появления письменности, так как у культур, в которых впервые появилась письменность (Шумер, Древний Египет), имелась довольно обширная коллекция математических знаний, полученных опытным путём.

Уже некоторые животные обладают способностями отличать количество, размер, форму и структуру предметов. Первобытный человек тоже обладал такими способностями. Например, люди из некоторых диких племён умеют очень хорошо определять число объектов на глаз, не считая их.

В связи с техническим прогрессом возникла необходимость в более точном счёте предметов. Первым этапом развития счёта было установление взаимно-однозначного соответствия между множеством считаемых предметов и множеством эталонов. Самый популярный вид такого счёта — счёт с помощью пальцев рук и ног.

На некотором этапе число воспринималось, как свойство совокупности предметов, такое же, как их цвет, форма, размер, структура. Для разных предметов употреблялись разные имена числительные. Но постепенно число абстрагировалось от считаемых предметов. Появились названия для чисел.

Арифметические операции возникли тоже из практических потребностей, как отображение реальных событий: объединение множеств, отделение части от множества и т. д.

Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы, которые обычно получали названия схожих с ними реальных предметов.

Источники знаний

Зарубки на кости Ишанго, отображающие счёт, найдены около озера Эдуард на стоянке Ишанго и имеют возраст около 30 тысяч лет.

Не все культуры совершают научно-технический прогресс с одинаковой скоростью. Некоторые в какой-то мере сохранили племенной строй и древние обычаи, по которым можно судить об их далёком прошлом и получить информацию о той эпохе, когда письменности ещё не существовало. К примеру, можно сопоставить числовую систему племени Бакаири в Бразилии, в которой есть названия только для чисел не больших 6 и числовую систему племени Йоруба в Нигерии, основывающуюся на сложном субтрактивном принципе и таким образом понять, как развивался способ наименования чисел.

Европейские колонизаторы часто могли относиться к таким культурам варварски, не уважая их традиции. Многие были уничтожены, другим пришлось встраиваться в существующий политико-экономический строй. Когда учёные постепенно осознали, что такие культуры могут дать богатый материал для изучения истории первобытного мира, часть их уже исчезла^{[нейтральность?]}.

В конце двадцатого века появился раздел науки — этноматематика, изучающий математику, как часть традиционной культуры. Начинают проводиться исследования, в ходе которых становится известно, как считают, показывают, называют и записывают числа первобытные народы.

Определённые сведения дают археологические раскопки. На стоянке Ишанго в Африке была найдена кость со счётными зарубками, возраст которой оценивается от 20 до 40 тысяч лет, давшая обширный материал для изучения и выводов. Другой артефакт — лучевая кость молодого волка с 55 зарубками на ней — был найден на верхнепалеолитической стоянке Дольни-Вестонице (Чехия). Микель Альберти в книге "Математическая планета. Путешествие вокруг света" приводит примеры других артефактов.

Если систематизировать полученные в результате этноматематических и археологических исследований знания, можно примерно воссоздать процесс возникновения математики.

Этапы развития счёта

Чувство числа

Основная статья: Субитизация

Ряд экспериментов показывают, что животные в определённом смысле могут ощущать количество предметов, не считая их. Английский биолог Джон Лаббок считал, что уже животные имеют начальные знания в области арифметики:

Лерой <...> упоминает случай, когда человеку было нужно застрелить ворону. "Чтобы ввести в заблуждение эту подозрительную птицу, было решено отправить двоих человек к её гнезду, один из которых прошёл бы мимо, а другой остался. Но ворона считала их и держалась на расстоянии. На следующий день пошли трое, и снова она поняла, что только двое ушли. Оказалось, что необходимо послать пять или шесть человек чтобы сбить её в расчётах. Ворона, думая, что все прошли мимо, не теряя времени, возвратилась к гнезду." Из этого он делает вывод, что ворона может считать до четырёх. Лихтенберг говорит о соловье, который считал до трёх. Каждый день он давал ему трёх червяков, по одному за раз. Закончив одного, соловей возвращался за другим, но после третьего знал, что обед закончен <...> Существует забавная и наводящая на мысли деталь в "Рассказах исследователя тропической Южной Африки" мистера Гальтона. После описания слабости африканского племени Демара в счёте, он говорит: "Однажды, когда я наблюдал за африканцем, безнадёжно пытающимся посчитать что-то, я заметил рядом Дайну, моего спаниеля, тоже озадаченного; Дайна была рядом с полудюжиной её новорождённых щенков, которые постоянно удалялись от неё; она очень беспокоилась и пыталась выяснить, все ли они здесь, или кого-то не хватает. Она озадаченно осматривала их, но не могла ничего понять. Она, очевидно, имела смутное представление о счёте, но здесь число было слишком велико для её мозга. Если сравнить их двоих, человека и собаку, то человек находится в невыигрышном положении<...>"<...>Таким образом, у нас есть основания предполагать, что у животных есть достаточно интеллекта, чтобы отличать три от четырёх.

Оригинальный текст (англ.)

Leroy<...>mentions a case in which a man was anxious to shoot a crow. "To deceive this suspicious bird, the plan was hit upon of sending two men to the watch house, one of whom passed on, while the other remained; but the crow counted and kept her distance. The next day three went, and again she perceived that only two retired. In fine, it was found necessary to send five or six men to the watch house to put her out in her calculation. The crow, thinking that this number of men had passed by, lost no time in returning." From this he inferred that crows could count up to four. Lichtenberg mentions a nightingale which was said to count up to three. Every day he gave it three mealworms, one at a time. When it had finished one it returned for another, but after the third it knew that the feast was over<...>There is an amusing and suggestive remark in Mr. Galton's interesting Narrative of an Explorer in Tropical South Africa. After describing the Demara's weakness in calculations, he says: "Once while I watched a Demara floundering hopelessly in a calculation on one side of me, I observed, "Dinah," my spaniel, equally embarrassed on the other; she was overlooking half a dozen of her new-born puppies, which had been removed two or three times from her, and her anxiety was excessive, as she tried to find out if they were all present, or if any were still missing. She kept puzzling and running her eyes over them backwards and forwards, but could not satisfy herself. She evidently had a vague notion of counting, but the figure was too large for her brain. Taking the two as they stood, dog and Demara, the comparison reflected no great honour on the man<...>" According to my bird-nesting recollections, which I have refreshed by more recent experience, if a nest contains four eggs, one may safely be taken; but if two are removed, the bird generally deserts. Here, then, it would seem as if we had some reason for supposing that there is sufficient intelligence to distinguish three from four.

Первобытные люди унаследовали такую способность. Так, согласно воспоминаниям одного американского миссионера, охотники из дикого племени индейцев, у которых есть названия только для чисел 1, 2 и 3, перед охотой окидывают взглядом многочисленную свору собак и если не хватает хотя бы одной, замечают это и начинают звать её. Этот феномен известен под названиями "чувство числа" и "чувственный счёт".

Установление взаимно-однозначного соответствия

Во многих языках остались названия чисел, возникшие, по мнению исследователей, ещё до счёта на пальцах. Эти названия связаны со знанием, что определённых предметов в природе всегда одинаковое количество (одно солнце на небе, два глаза у человека, пять пальцев на руке и т. д.). Некоторые числа стали называться именами таких предметов. Так, в древней индийской словесной системе счисления мы встречаем следующие названия чисел:

• 0 — небо, дыра
• 1 — Луна, Земля, Брахма;
• 2 — близнецы, глаза, руки;
• 5 — чувства;
• 6 — запахи;
• 7 — горы;
• 8 — боги

Число 40 (по наиболее распространённой версии) произошло от названия связки меховых шкурок.

Если существует набор из восьми камней и набор из восьми ракушек, можно разложить их так, чтобы напротив каждого камня лежало по одной ракушке. Именно так происходил процесс торговли между двумя первобытными племенами. Напротив каждого товара от первого племени клалось по одному товару от второго племени и в результате племена обменивались друг с другом одинаковым количеством товаров.

Такой процесс, когда каждому элементу из одного множества (совокупности) ставится в соответствие один элемент из другого множества называется в математике установлением взаимно-однозначного соответствия между двумя множествами.

С установления взаимно-однозначного соответствия между множеством считаемых предметов и множеством счётных эталонов начался следующий этап развития счёта.

Из всех счётных эталонов наиболее удобный и который "всегда при себе" — пальцы рук и ног и даже другие части тела.

Чтобы запомнить сколько животных он убил на охоте, первобытному человеку надо было просто запомнить, на каком пальце руки или ноги он остановил счёт. Это мог быть второй палец второй ноги, последний палец первой руки или все пальцы. В некоторых языках числа стали так и называться. Вот примеры:

• Число 18 на языке одного гренландского племени называется "С другой ноги три" .
• Это же число на языке одного караибского племени называется "Все мои руки, три, моя рука".
• На языке зулусов слово "татизитуна" ("взять большой палец руки") обозначает число 6, а слово "у кобмиле" (он указал, т. е. указательный палец) — 7.

Когда пальцев не хватало использовались другие части тела, пальцы других людей или разгибание уже загнутых пальцев.

Исследователь Новой Гвинеи Н. Н. Миклухо-Маклай предложил папуасам сосчитать число дней до возвращения корвета «Витязь», нарезав для этого полоски бумаги.

"Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «наре, наре» (один); другой повторял слово «наре» и загибал при этом палец прежде на одной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, опустил оба кулака на колени проговорив:…"две руки", причём третий папуас загнул палец руки. Со вторым десятком было сделано то же, причём третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся бумажки не составляли четвёртого десятка и продолжали лежать в стороне."

Часто первобытные люди носили с собой специальные эталоны счёта — палочки или шарики.

Понятие отвлечённого числа

Когда искусство счёта постепенно развивалось, понятие числа было неотделимо от считаемых предметов. Число не могло существовать само по себе. В зависимости от того, что считали, числа могли называться по-разному. У некоторых племён по сей день существует деление числительных по типу считаемых объектов. Например, в языке племени цимшиан имеется семь различных типов числительных:

1. Для счёта плоских предметов
2. Для счёта круглых предметов и деления времени
3. Для счёта людей
4. Для счёта длинных предметов
5. Для счёта каноэ
6. Для мер
7. Неопределённые числа.

Потребовалось много времени, чтобы появилось понятие числа самого по себе, отделённого от предметов.

Расширение числовой последовательности

Теоретически можно сосчитать любое число предметов. Их количество может выражаться числом, до этого никогда не встречавшимся (например, 723 945 186 — семьсот двадцать три миллиона девятьсот сорок пять тысяч сто восемьдесят шесть), но тем не менее человеку, услышавшему это число, будет возможно представить себе сколько это примерно. Число предметов, которые можно сосчитать ничем не ограничено. Для любого целого количества предметов существует вполне определённое натуральное число. Это явление называется непрерывной числовой последовательностью.

Однако числовая последовательность в языке не всегда была непрерывной. До сих пор существуют племена, в языках которых есть только два числительных: один и много. Уровень их быта не требует каких-либо других числовых слов. Но в связи с техническим развитием эти слова становятся необходимы.

Появление слова для обозначения числа два — большой шаг в развитии числовой последовательности. После появления слова для обозначения числа три числовая последовательность расширяется всё дальше и дальше. Постепенно появляются названия для чисел меньших десяти.

Ещё несколько веков назад большинству людей не требовалось использовать числа более тысячи. Для обозначения больших чисел использовались слова "чудовище", "бесконечность", "больше не сосчитаешь". Так, приставка "-тера", обозначающая умножение исходной единицы на 10¹², т. е. на триллион (например, терабайт) происходит от римского слова "чудовище", т. е. является однокоренной со словом "террор". Древнерусское название числа 10 000 — тьма. Название числа миллион означает на старо-итальянском "большая тысяча".

На языке Руанды 10 000 называется "слон", а 20 000 — "два слона". В Нигерии число 160 000 называется "400 встречает 400", а название числа 10 000 000 можно примерно перевести, как "Здесь так много вещей, что их число необъятно".

Возникновение числовых систем

Сходство числительных у различных индоевропейских народов показывает, что они появились, ещё когда эти народы говорили на одном языке, т. е. относится к доисторическому периоду:

Число	Латинский	Греческий	Английский	Немецкий	Французский	Русский
1	uno	моно	one	ein	un	один
2	duo	диа	two	zwei	deux	два

Языки без имён числительных

Существуют языки, полностью (или практически полностью) лишённые каких-либо имён числительных. В работе американского математика Леви Конента приведены в качестве примеров языки боливийских племён Чикита и Такана.

Алгоритмические и узловые числа

В науке числам, которые лежат в основе названий других дано наименование "узловые". Числам, названия которых состоят из других дано наименование "алгоритмические". Так числа три, шесть, десять, сорок, сто — узловые, так как их названия нельзя разобрать по составу. Число же шестьдесят является алгоритмическим, так как его название состоит из названий узловых чисел шесть и десять. Алгоритмические числа могут образовываться из узловых разными способами. Далее приведены примеры таких образований.

Аддитивный принцип

Первые числовые системы использовали аддитивный принцип. Он заключается в том, что названия алгоритмических чисел образованы из узловых посредством сложения, как название числа семнадцать. В таблице приведены в качестве примера система счисления племени Гумульгэл, живущего на островах Торресова Пролива и племени Бакаири.

Система счисления племени Гумульгэл			Система счисления племени Бакаири
Число	Название		Число	Название
1	Урапун		1	токале
2	Окоза		2	ахаге
3	Окоза-урапун		3	ахаге-токале
4	Окоза-окоза		4	ахаге-ахаге
5	Окоза-окоза-урапун		5	ахаге-ахаге-токале
6	Окоза-окоза-окоза		6	ахаге-ахаге-ахаге

Как видно, собственные названия имеют только числа 1 и 2, остальные числа имеют производные названия. Для чисел больших 7 у этих племён существует только одно слово, которое означает — много.

Субтрактивный принцип

Более сложные числовые системы использовали также субтрактивный принцип. Это означает, что названия некоторых алгоритмических чисел могли образовываться из узловых посредством вычитания.

Субтрактивный принцип виден, например, в римской системе нумерации, где число 9 записывается, как IX, то есть, как 10—1. Довольно сложной субтрактивной системой счисления с основанием 20 пользовалось африканское племя Йоруба:

Система счисления народа Йоруба
Число	Название	Расшифровка названия		Число	Название	Расшифровка названия
1	kan	1		31	mokonlelogbon	+1+30
2	meji	2		32	mejilelogbon	+2+30
3	meta	3		33	metalelogbon	+3+30
4	merin	4		34	merinlelogbon	+4+30
5	maruun	5		35	maruundinlogoji	-5+20×2
6	mefa	6		36	merindinlogoji	-4+20×2
7	meje	7		37	metadinlogoji	-3+20×2
8	mejo	8		38	mejidinlogoji	-2+20×2
9	mesan	9		39	mokondinlogoji	-1+20×2
10	mewa	10		40	ogoji	20×2
11	mokonlaa	+1+10		41	mokonlogoji	+1+20×2
12	mejilaa	+2+10		42	mejilogoji	+2+20×2
13	metalaa	+3+10		43	metalogoji	+3+20×2
14	merinlaa	+4+10		44	merinlogoji	+4+20×2
15	meéedogun	-5+20		45	maruundinlaàadota	-5-10+20×3
16	merindinlogun	-4+20		46	merindinlaàadota	-4-10+20×3
17	metadinlogun	-3+20		47	metadinlaàadota	-3-10+20×3
18	mejidinlogun	-2+20		48	mejidinlaàadota	-2-10+20×3
19	mokondinlogun	-1+20		49	mokondinlaàadota	-1-10+20×3
20	ogun	20		50	àadota	-10+20×3
21	mokonlelogun	+1+20		51	mokonlelaàadota	+1-10+20×3
22	mejilelogun	+2+20		52	mejilaàadota	+2-10+20×3
23	metalelogun	+3+20		53	metalaàadota	+3-10+20-×3
24	merinlelogun	+4+20		54	merinlaàadota	+4-10+20×3
25	meéedogbon	-5+30		55	maruundinlogota	-5+20×3
26	merindinlogbon	-4+30		Источник: Dirk Huylebrouck. Mathematics in central Africa before colonization. Математика племён центральной Африки. Архивная копия от 7 февраля 2012 на Wayback Machine
27	metadinlogbon	-3+30
28	mejidinlogbon	-2+30
29	mokondinlogbon	-1+30
30	ogbon	30

Мультипликативный принцип

Мультипликативный принцип заключается в том, что названия некоторых алгоритмических чисел могут образовываться из узловых посредством умножения. Он виден в названиях таких чисел, как "семьдесят", "триста", "четыреста" и т. д.

Арифметические вычисления

Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и потом вычитания.  Для того случая, когда много раз нужно сложить несколько одинаковых совокупностей, появляется новая операция — умножение.

Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Свойства арифметических операций открывались постепенно.

Большим "толчком" к использованию арифметических операций послужило развитие измерений. Единицы измерения были связаны прежде всего с частями тела, которыми было легко их (измерения) проводить (фут (нога), локоть и др.).

Понятия дроби, как таковой, не было даже после появления письменности. Однако в быту использовались понятия "половина", "треть", "четверть". Такие "дроби" дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (¹/₁₂). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенни = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда, дюжина = 12 единиц  и т. д. Десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях получили распространение в Европе только в XVI веке.

Возникновение геометрии

В своей практической деятельности человек сталкивался с конкретными геометрическими фигурами и телами. Постепенно происходила их идеализация — люди абстрагировались от дефектов конкретных предметов, создавая идеальные представления. Так появились понятия правильных многоугольников и многогранников, пирамид, призм и тел вращения. Большинство общепринятых названий геометрических фигур являются древнегреческими.

Происхождение названий геометрических объектов

Понятие	Происхождение названия
ромб	от древнегреческого ρόμβος — волчок
трапеция	от древнегреческого τραπέζιον — стол
сфера	от древнегреческого σφαῖρα — мяч
цилиндр	от древнегреческого κύλινδρος — валик
конус	от древнегреческого κώνος — сосновая шишка
пирамида	от названия египетских пирамид "пурама"
призма	от древнегреческого πρίσμα — нечто опиленное
линия	от латинского linea — льняная нить
точка	от глагола ткнуть
центр	от древнегреческого  κέντρον — названия заострённой палки (ножки циркуля)
Источник: Э. И. Берёзкина, Б. А. Розенфельд. Доисторические времена // История математики. С древнейших времён до начала Нового времени / Под ред. А. П. Юшкевича. — Москва: Наука, 1970—1972. — С. 10—16. — 353 с. — 7200 экз.

Литература

• Альберти, Микель. Математическая планета. Путешествие вокруг света. — Москва: де Агостини, 2014. — (Мир математики). — ISBN 5977407351.
• Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Москва: Учпедгиз, 1959.
• Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления // Энциклопедия элементарной математики. Книга первая (арифметика) / под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — Ленинград: ГТТИ, 1951. — Т. Книга 1. Арифметика. — 449 с.
• Беллюстин В. Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳметики (Общедоступные очерки для любителей ариѳметики). — М.: Типографiя К. Л. Меньшова, 1909.
• Берёзкина Э. И., Розенфельд Б. А.. Доисторические времена // История математики. С древнейших времён до начала Нового времени / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972. — С. 10—16. — 353 с.
• Меннингер, Карл. История цифр. Числа, символы, слова. — Москва: Центрполиграф, 2011. — 598 с.
• Перельман Я. И. Занимательная арифметика. — М.: Центрполиграф, 2012. — ISBN 978-5-9524-4959-6.
• Улин, Бенгт. Цели и методы обучения математике. — М.: Народное Образование, 2007. — 335 с. — ISBN 5-87953-251-8.
• Conant, Levi Leonard The Number Concept. — New York: Macmillan & Co, 1896.
• Huylebrouck, Dirk. Mathematics in central Africa before colonization. Архивировано 7 февраля 2012 года. Архивная копия от 7 февраля 2012 на Wayback Machine
• Boyer. Primitive Origins // A History of Mathematics. — Ленинград: Wiley, 1968.
• Scott J. F. A History of Mathematics From Antiquity to the Beginning of the Nineteen Century (англ.). — L.: Tailor & Francis Ltd, 1958. — 266 p.
• The Universal History of Numbers (англ.). — John Wiley & Sons, 2000. — 635 p. — ISBN 0471393401.