Гипотеза Лежандра

График количества простых чисел между n² и (n + 1)²

Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального $n$ существует простое число между $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$. Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию на 2024 год ни доказана, ни опровергнута.

Промежутки простых чисел

Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$ асимптотически стремится к $n/\ln n$. Поскольку это число растёт при росте $n$, это даёт основания для гипотезы Лежандра.

Если гипотеза верна, интервал между любым простым $p$ и следующим простым всегда должен быть порядка ${\sqrt {p}}$, а в $O$-нотации интервал равен $O({\sqrt {p}})$. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.

Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок $(\log p)^{2}$), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших $n$. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница $O({\sqrt {p}}\log p)$ размера наибольшего интервала между простыми числами.

Контрпример в районе 10¹⁸ должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.

Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.

Частичные результаты

В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ для всех больших $x$.

Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает, что гипотеза выполняется до $n^{2}=4\cdot 10^{18}$.

Было доказано, что для бесконечного количества чисел $n\in \mathbb {N}$ выполняется

$\left\lfloor {\frac {1}{2}}\left({\frac {(n+1)^{2}}{\log(n+1)}}-{\frac {n^{2}}{\log n}}\right)-{\frac {(\log n)^{2}}{\log \log n}}\right\rfloor \leq \pi \left((n+1)^{2}\right)-\pi \left(n^{2}\right),$

где $\pi$ — функция распределения простых чисел.

См. также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирузбэхт

Литература

• Baker R. C., Harman G., Pintz G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83, iss. 3. — P. 532—562. — doi:10.1112/plms/83.3.532.
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi. Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot 10^{18}$ (англ.) // Mathematics of Computation. — 2014. — Vol. 83, iss. 288. — P. 2033—2060. — doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1.
• Ian Stewart. Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems (англ.). — Basic Books, 2013. — ISBN 9780465022403..

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Legendre's conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hashimoto, Tsutomu (2008). "On a certain relation between Legendre's conjecture and Bertrand's postulate". arXiv:0807.3690.
• Mitra, Adway; Paul, Goutam; Sarkar, Ushnish (2009). "Some conjectures on the number of primes in certain intervals". arXiv:0906.0104.
• Paz, German (2013). "On Legendre's, Brocard's, Andirca's and Oppermann's conjectures". arXiv:1310.1323.