У этого термина существуют и другие значения, см.
Гребень .
Гребень Дирака — бесконечный ряд
Гребень Дира́ка — это периодическое распределение Шварца , построенное из дельта-функций
Δ
T
(
t
)
=
d
e
f
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}
для некоторого заданного периода
T
{\displaystyle T}
.
Очевидно, что
Δ
T
(
t
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t)}
периодическая с периодом
T
{\displaystyle T}
. Поэтому
Δ
T
(
t
+
T
)
=
Δ
T
(
t
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)}
для всех
t
{\displaystyle t}
. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции
Δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }
где
c
n
{\displaystyle c_{n}}
коэффициенты Фурье, равные
c
n
{\displaystyle c_{n}}
=
1
T
∫
t
0
t
0
+
T
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
(
−
∞
<
t
0
<
+
∞
)
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
δ
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
e
−
i
2
π
n
0
/
T
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }
=
1
T
.
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }
В результате того, что все коэффициенты Фурье равны
1
/
T
{\displaystyle 1/T}
, получаем окончательное выражение
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}
.
Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised ed.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics , 17 : 191—196