Действие группы

Циклическая группа порядка три действует на множестве вершин равностороннего треугольника поворотами вокруг его центра на углы, кратные 120°, циклически переставляя их.

Де́йствие гру́ппы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества.

Гру́ппа преобразова́ний некоторого множества — это некоторые преобразования этого множества, образующие группу. Термин «группа преобразований» близок термину «действие группы», но язык преобразований менее гибок.

В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой, предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп.

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин, рёбер и граней.

В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами. Такие действия часто называются непрерывными.

Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы ${\rm {GL}}_{n}(K)$, то есть группы обратимых матриц размера $n\times n$ над некоторым полем $K$.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа $G$ действует слева на множестве $M$, если задан гомоморфизм $\Phi \colon G\to S(M)$ из группы $G$ в симметрическую группу $S(M)$ множества $M$. Для краткости $(\Phi (g))(m)$ часто записывают как $g(m)$, $g\cdot m$, $g{.}m$ или $gm$. Элементы группы $G$ называются в этом случае преобразованиями, а сама группа $G$ — группой преобразований множества $M$. Тот факт, что сопоставление $\Phi$ является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует композиция преобразований, а нейтральному элементу группы соответствует тождественное преобразование.

Другими словами, группа $(G,\ast )$ действует слева на множестве $M$, если задано такое отображение $G\times M\to M$, при котором образ пары $(g,m)$ обозначается $g(m)$, что:

1. $(g\ast h)(m)=g(h(m))$ для всех $g,h\in G$ и $m\in M$;
2. $e(m)=m$, где $e$ — нейтральный элемент группы $G$.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы $G$ на $M$ задаётся таким отображением $M\times G\to M$, при котором образ пары $(m,g)$ обозначается $(m)g$, что:

1. $(m)(g\ast h)=((m)g)h$;
2. $(m)e=m$.

Другими словами, правое действие группы $G$ на $M$ задаётся гомоморфизмом $\rho :G^{op}\to S(M)$, где $G^{op}$ — инверсная группа группы $G$. Или, что то же самое, левым действием группы $G^{op}$ на $M$.

Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение $gh$ действует на данном элементе. В левом действии сначала действует $h$, затем $g$. А в правом действии сначала действует $g$, затем $h$.

Благодаря формуле $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$, отображение $g\mapsto g^{-1}$ осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.

Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных $g,\;h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm\neq hm$.
• Транзитивное, если для любых $m,\;n\in M$ существует $g\in G$ такой, что $gm=n$. Другими словами, действие транзитивно, если $Gm=M$ для любого элемента $m\in M$.
  • Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств $M$.
• Эффективное, если для любых двух элементов $g\neq h$ в $G$ существует $m\in M$ такой, что $gm\neq hm$.
• Вполне разрывное, если для любого компактного множества $K$ множество всех $g\in G$, для которых пересечение $K\cap gK$ непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие $\rho :G\to \mathrm {X}$ топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

• Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
  • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
• Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.

Орбиты

Подмножество

$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$

называется орбитой элемента $m\in M$ (иногда обозначается как $\mathrm {Orb} (m)$).

Действие группы $G$ на множестве $M$ определяет на нём отношение эквивалентности

$\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).$

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно $k$, то

$M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},$

где $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k=1$.

Стабилизаторы

Подмножество

$G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$

является подгруппой группы $G$ и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента $m\in M$ (иногда обозначается как $\mathrm {Stab} (m)$).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\,\sim _{_{G}}\,m$, то найдется такой элемент $g\in G$, что

$G_{m}=gG_{n}g^{-1}.$

Количество элементов в орбите

$|Gm|=[G:G_{m}]$, $G_{m}$ — стабилизатор элемента $m$ и $[G:G_{m}]$ — индекс подгруппы $G_{m}\subset G$, в случае конечных групп равен ${\frac {|G|}{|G_{m}|}}$.

Размерность орбиты можно вычислить так:

$\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|$, где

$\dim |Gm|$ размерность отдельной орбиты,

$\dim |G_{m}|$ размерность стабилизатора, $\dim |G|$ размерность группы Ли.

Если $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$, то

$|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]$ — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. $\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
2. $\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
3. лемму Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае $M=G$, и гомоморфизм $\Phi :G\to S(G)$ задан как $(\Phi (g))(h)=gh$.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа: $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times G$ на $M=G$ с гомоморфизмом $\Phi :G\times G\to S(G)$, заданным как $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$.

Сопряжениями

Пусть $M=G$, и гомоморфизм $\Phi :G\to S(G)$ задан как $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$. При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор $G_{h}$ совпадает с централизатором $C(h)$:

$G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).$

Например, для элемента $h$ из центра группы $G$ (то есть $h\in Z(G)$) имеем $C(h)=G$ и $G_{h}=G$.

Вариации и обобщения

• Псевдогруппа преобразований

См. также

• Представление группы

Источники

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. Новое издание, перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2011. 590 с., ил. ISBN 978-5-94057-685-3.
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..