Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица $E_{n}=(e_{ij})$ размера (порядка) $n$, элементы главной диагонали которой равны единице поля ($e_{ii}=1$), а остальные равны нулю ($e_{ij}=0$ при $i\neq j$).

Единичную матрицу можно также определить как матрицу $(e_{ij})$, у которой $e_{ij}=\delta _{ij}$, где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице: $AE=EA=A$. Квадратная матрица в нулевой степени даёт единичную матрицу того же размера: $A^{0}=E$. При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица: $AA^{-1}=A^{-1}A=E$. Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу: $AA^{T}=E$. Определитель единичной матрицы равен единице: $\mathrm {det} \,E=1$.

Единичные матрицы первых трёх порядков:

$E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.