Жёсткость

Удлинение δ цилиндрической пружины, вызванное приложенной осевой силой F

Механи́ческая жёсткость (также жёсткость) — способность твёрдого тела, конструкции или её элементов сопротивляться деформации (изменению формы и/или размеров) от приложенного усилия вдоль выбранного направления в заданной системе координат.

Обратная к характеристике называется механической податливостью. Для случая упругих деформаций в записи закона Гука рассматривается как физико-геометрическая характеристика сечения элемента конструкции и равна произведению модуля упругости материала и соответствующей геометрической характеристики сечения.

Общие сведения

Механическая жёсткость является одним из важных факторов, определяющих работоспособность конструкции и имеет такое же, а иногда и большее значение для обеспечения её надёжности, как и прочность. Конструкция может быть прочной, но не жёсткой, поскольку значительные деформации могут привести к появлению опасных с точки зрения прочности напряжений.

Недостаточная жёсткость и связанные с ней повышенные деформации могут вызвать потерю работоспособности конструкции по различным причинам. Повышенные деформации могут нарушить равномерность распределения нагрузки и вызвать их концентрацию на отдельных участках, создавая высокие местные напряжения, что может привести к разрушению. Недостаточная жёсткость корпусных деталей нарушает взаимодействие размещенных в них механизмов, вызывая повышенное трение и износ в кинематических парах, появление вибраций.

Недостаточная жёсткость валов и опор зубчатых передач изменяет нормальное зацепление колес, что приводит к быстрому усталостному выкрашиванию и износу их рабочих поверхностей. Кроме того, увеличиваются углы перекосов подшипников, уменьшается их долговечность, а в отдельных случаях даже недостаточная жёсткость приводит к быстрому разрушению.

В технологических машинах, выполняющих точные операции, недостаточная жёсткость системы «станок — инструмент — устройство — деталь» не позволяет получить размеры с заданной точностью.

Оценка жёсткости

Параметры для определения жёсткости балки на двух опорах

Оценивать жёсткость принято коэффициентом жёсткости $k$ — отношением усилия (силы), прилагаемого к конструкции, к максимальной деформации, вызванные этой силой.

Коэффициент жёсткости $k$ тела является мерой сопротивления упругого тела деформации. Для упругого тела при нагрузке (например, растяжение или сжатие стержня вызванные приложенной силой), жёсткость определяется, как:

$k={\frac {F}{\delta }},$

где $F$ — сила, приложенная к телу,

$\delta$ — деформация, вызванная силой $F$ вдоль направления действия силы (например, изменение длины растянутой пружины или прогиб балки).

В СИ коэффициент механической жёсткости измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

К определению крутильной жёсткости

Для упругого тела можно рассматривать и механическую жёсткость при деформации кручения, тогда коэффициент крутильной (торсионной) жёсткости $k$:

$k={\frac {M}{\alpha }},$

где $M$ — приложенный к телу крутящий момент,

$\alpha$ — угол закручивания тела по оси приложения крутящего момента.

В системе СИ коэффициент жёсткости при кручении обычно измеряется в ньютон-метрах на радиан (Н·м/рад).

Механическая жесткость и упругие свойства материала

Между модулем упругости материала и жёсткостью детали, изготовленной из этого материала есть существенная разница. Модуль упругости — это свойство материала; механическая жёсткость — это свойство конструкции или её компонента, а следовательно, она зависит не только от материала, из которого он изготовлен, но и от геометрических размеров, которые описывают этот компонент. То есть модуль упругости — это интенсивная величина (не зависит от размеров объекта), характеризующий материал; с другой стороны, механическая жёсткость — это экстенсивная характеристика (зависимая от размеров) твердого тела, которая зависит как от материала, так и от его характерных геометрических размеров, формы и граничных условий.

Например, для элемента в виде бруса, испытывающего растяжения или сжатия, коэффициент осевой жёсткости равен:

$k={\frac {F\cdot E}{L}},$

где $F$ — площадь поперечного сечения, перпендикулярной линии приложения усилия,

$E$ — модуль Юнга (модуль упругости первого рода),

$L$ — длина элемента.

Для деформации сдвига коэффициент жёсткости:

$k={\frac {G\cdot F}{l}},$

где $F$ — площадь поперечного сечения в плоскости сдвига,

$G$ — модуль сдвига (модуль упругости второго рода) для данного материала, : $l$ — высота элемента смещения перпендикулярно направлению сдвига.

Для коэффициента жёсткости при кручении цилиндрического стержня:

$k={\frac {G\cdot J_{0}}{L}},$

где $J_{0}$ — полярный момент инерции,

$G$ — модуль сдвига (модуль упругости второго рода) для данного материала, : $L$ — длина элемента.

По аналогии коэффициент жёсткости для условий чистого изгиба:

$k={\frac {G\cdot J_{x}}{L}},$

где $G$ — модуль сдвига (модуль упругости второго рода) для данного материала,

$J_{x}$ — осевой момент инерции,

$L$ — длина элемента.

Расчёт на жёсткость

Расчёт на жёсткость предусматривает ограничение упругих перемещений допустимыми величинами. Значения допустимых перемещений ограничены условиями работы сопряженных деталей (зацепление зубчатых колес, работа подшипников в условиях изгиба валов) или технологическими требованиями (точность обработки на металлорежущих станках).

Различают собственную жёсткость деталей, обусловленную деформациями всего материала деталей рассматриваются как балки, пластины, оболочки с идеализированными опорами, и контактную жёсткость, которая связана с деформациями поверхностных слоев материала в зоне контактного взаимодействия деталей. Если площадь контакта мала, то возникают существенные контактные деформации, и их расчёт производится по формулам Герца. Преимущественно при значительных нагрузках основную роль играет собственная жёсткость, однако, в прецизионных машинах или устройствах при относительно малых нагрузках контактные деформации играют значительную роль и могут даже превышать собственные.

При большой контактной площади деформации, обусловленные смятием микронеровностей, определяются по эмпирическим формулам с использованием экспериментально установленных коэффициентов контактной податливости.

Условия обеспечения жёсткости записываются в виде (в квадратных скобках указаны предельно-допустимые деформации):

• $\Delta l\leq \left[\Delta l\right]$ — для деформации растяжения-сжатия;
• $\theta \leq \left[\theta \right]$ — для деформации кручения;
• $f\leq \left[f\right]$ — для стрелы прогиба детали в виде балки на опорах.

Мероприятия по обеспечению механической жёсткости

Главным практическим средством повышения жёсткости является изменение геометрических параметров детали с целью обеспечения достаточной жёсткости формы. Главными конструктивными средствами повышения жёсткости деталей и конструкций являются:

• по возможности устранения деформации изгиба, как невыгодной с точки зрения обеспечения жёсткости и прочности, замена её деформацией растяжения (сжатия)
• для деталей, работающих на изгиб, выбор рациональных типов опор и их размещения, исключение по возможности консолей и уменьшения их длины, стремясь к равномерному распределению нагрузки по длине;
• рациональное, но без роста массы, увеличение моментов инерции сечений путем удаления материала от нейтральной оси, усиление закладных участков и участков перехода от одного сечения к другому;
• для коробчатых деталей — использование криволинейных выпуклых стенок;
• блокировки деформаций путем установления раскосов (для рам), обечаек и перемычек (для полых тонкостенных цилиндров), оребрения тонких стенок, рифление плоских поверхностей крышек и тому подобное.

Наряду с собственной жесткостью в соединениях деталей значительную роль играет контактная жёсткость, которая может определять точность движения контактирующих деталей, вызвать дополнительные динамические нагрузки, влиять на износостойкость поверхностей и их долговечность, на рассеяние энергии колебаний.

Важнейшими конструктивными мерами по повышению контактной жёсткости являются:

• уменьшение шероховатости поверхности;
• создание натяжения или предварительное затягивание в соединениях;
• создание слоя смазки между контактирующими поверхностями.

Источники

• Писаренко Г. С., Цветок А. Л., Уманский Е. С. Сопротивление материалов. Учебник / Под ред. Г. С. Писаренко — М.: Высшая школа, 1993. — 655 с. — ISBN 5-11-004083-4
• Миняйло А. В., Тищенко Л. М., Мазоренко Д. И. и др. Детали машин: учебник. — М .: Агроосвита 2013. — 448 c. — ISBN 978-966-2007-28-2
• Решетов Д. Н. Детали машин. Учебник для студентов машиностроительных и механических специальностей вузов. 4-ое издание, переработанное и дополненное. — М .: Машиностроение, 1989. — 496 с. — ISBN 5-217-00335-9

Ссылки

• Чаюн И. М. Жесткость конструкций и их элементов // Труды Одесского Политехнического университета. — 2010. — № 1—2. — С. 11—16.