Задача Потенота

Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем и обобщением задач трилатерации и триангуляции. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня) и не потеряла актуальности по настоящее время.

Формулировка задачи Потенота

Найти точку плоскости, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами.

Замечание. Если все эти углы равны между собой и равны 120 градусам, то искомая точка есть Точка Торричелли.

История

Впервые решить задачу аналитически удалось голландскому математику Снеллиусу в 1616 году. Однако в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, которая впоследствии получила его имя. В разное время ею занимались картографы И. Г. Леман (1765—1811), А. П. Болотов (1803—1853), А. Д. Моторный (1891—1964) и др.

Порядок решения задачи способом Деламбра

1. Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку "0" по формуле:

$\mathrm {tg} \alpha _{1-0}={\frac {\Delta Y_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1}}+\Delta Y_{1-3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}-x_{2}+x_{3}}{\Delta X_{2-1}*{\operatorname {ctg} \beta _{1}}+\Delta X_{1-3}*{\operatorname {ctg} \beta _{2}}+y_{2}-y_{3}}}$.

2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов - 2, 3, 4.

$\mathrm {tg} \alpha _{2-0}=a_{1-0}+\beta _{1}$

$\mathrm {tg} \alpha _{3-0}=a_{1-0}+\beta _{2}$

$\mathrm {tg} \alpha _{4-0}=a_{1-0}+\beta _{3}$

3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р, вычисляют координаты точки Р в двух комбинациях. Вторая комбинация является не зависимой и контрольной.

I комбинация

$\mathrm {x} _{0}={\frac {x_{1}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}}-x_{2}*{\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}-y_{1}+y_{2}}{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}-\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}}$.

$\mathrm {y'} _{0}={y_{1}+\Delta X_{1-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{1-0}}}$.

$\mathrm {y''} _{0}={y_{2}+\Delta X_{2-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{2-0}}}$.

II комбинация

$\mathrm {x} _{0}={\frac {x_{3}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}}-x_{4}*{\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}-y_{3}+y_{4}}{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}-\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}}$.

$\mathrm {y'} _{0}={y_{3}+\Delta X_{3-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{3-0}}}$.

$\mathrm {y''} _{0}={y_{4}+\Delta X_{4-0}*{\operatorname {tg} \alpha _{4-0}}}$.

Дополнительная литература

• Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) / / Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
• Обратная однократная засечка // Справочник геодезиста. книга 2 / Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука. — 3-е изд. переаб и доп.. — Москва: Недра, 1985. — С. 194. — 440 с.

Ссылки

• Геодезическая терминология на сайте www.geodezist.info