Импликация

Импликация
Не больше, IMPLY
Диаграмма Венна
Определение	$x\rightarrow y$
Таблица истинности	$(1101)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Конъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Имплика́ция (от лат. implicatio «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка $\Rightarrow$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества $\{0,1\}$. Результат также принадлежит множеству $\{0,1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений $0,1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $\operatorname {false} ,\operatorname {true}$ или $F,T$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция $A\to B$ — это сокращённая запись выражения $\neg A\lor B$.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, $\neg A\lor B$) (материальная импликация, материальный кондиционал)

$a$	$b$	$a\to b,a\leqslant b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если $a\leqslant b$, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, $A\lor (\neg B)$)

$a$	$b$	$a\leftarrow b,a\geqslant b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если $a\geqslant b$, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ($A\land (\neg B)$)

$a$	$b$	$\lnot (a\to b),a>b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если $a>b$, то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации ($\lnot A\land B$), разряд займа в двоичном полувычитателе.

$a$	$b$	$\lnot (a\leftarrow b),a<b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если $a<b$, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А
• А имплицирует Б
• А влечёт Б

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом $\Rightarrow$, и ей соответствует вложение множеств: пусть $A\subset B$, тогда

$x\in A\Rightarrow x\in B.$

Например, если $A$ — множество всех квадратов, а $B$ — множество прямоугольников, то, конечно, $A\subset B$ и

(a — квадрат) $\Rightarrow$ (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации $A\rightarrow B$ формуле $\neg A\lor B$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле $\neg (A\land \neg B)$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде $A\rightarrow \nvDash$, где $\nvDash$ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика

В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее или
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Условная дизъюнкция
• Таблица истинности
• Закон тождества

Литература

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
• Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
• Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.

Ссылки

• Импликация и эквивалентность
• Импликация в учебнике MathIt