Конечнопорождённый модуль

Конечнопорождённым мо́дулем $M$ над ассоциативным кольцом $A$ называется такой модуль, который порождается конечным числом своих элементов. Например, для правого модуля это означает, что существует конечное множество элементов $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\in M$ таких, что любой элемент из $M$ представим в виде суммы $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}$, где $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in A$ — какие-то элементы кольца $A$.

В числе свойств, тесно связанных с конечнопорождённостью — конечнопредставленность, конечносвязанность и когерентность модуля. Над нётеровым кольцом все четыре свойства эквивалентны.

Конечнопорождённые модули над полем — это в точности конечномерные векторные пространства.

Свойства

Образ конечнопорождённого модуля при гомоморфизме также конечнопорождён. В общем случае, подмодули конечнопорождённого модуля не обязательно являются конечнопорождёнными. Например, рассмотрим кольцо R = Z[x₁, x₂…] многочленов от бесконечного числа переменных. Это кольцо конечно порождено как R-модуль. Рассмотрим его подмодуль (т. e. идеал), состоящий из всех многочленов с нулевым коэффициентом при константе. Если бы у этого модуля было конечное порождающее множество, то каждый одночлен x_i должен бы был содержаться в одном из многочленов этого множества, что невозможно.

Модуль называется нётеровым, если любой его подмодуль конечно порождён. Более того, модуль над нётеровым кольцом является конечнопорождённым тогда и только тогда, когда он является нётеровым.

Пусть 0 → M′ → M → M′′ → 0 — точная последовательность модулей. Если M′ и M′′ здесь конечно порождены, то и M конечно порождён. Верны и некоторые утверждения, частично обратные к данному. Если M конечно порождён и M'' конечно представлен (это более сильное условие, чем конечнопорождённость, см. ниже), то M′ конечно порождён.

В коммутативной алгебре существует определённая связь между конечнопорождённостью и целыми элементами. Коммутативная алгебра A над R называется конечнопорождённой над R, если существует конечное множество её элементов, такое, что A — наименьшее подкольцо A, содержащее R и эти элементы. Это более слабое условие, чем конечнопорождённость: например, алгебра многочленов R[x] — конечнопорождённая алгебра, но не конечнопорождённый модуль. Следующие утверждения эквивалентны:

• A — конечнопорождённый модуль;
• A — конечнопорождённая алгебра, являющаяся целым расширением R.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули

Свойство конечнопорождённости можно сформулировать так: конечнопорождённый модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизм

f : R^k → M.

Рассмотрим теперь эпиморфизм

φ : F → M

из свободного модуля F в M.

• Если ядро эпиморфизма φ конечно порождено, M называется конечно связанным модулем. Поскольку M изоморфно F/ker(φ), это свойство можно выразить следующими словами: M получается из свободного модуля добавлением конечного числа соотношений.
• Если ядро эпиморфизма φ конечно порождено и ранг F конечен, M называется конечно представленным модулем. Здесь у M имеется конечное число генераторов (образы генераторов F) и конечное число соотношений (генераторов ker(φ)).
• Когерентный модуль — это конечнопорождённый модуль, все конечнопорождённые подмодули которого конечно представлены.

Если основное кольцо R нётерово, все четыре условия эквивалентны.

Хотя условие когерентности кажется более «громоздким», чем условия конечной связанности и представленности, оно также интересно, потому что категория когерентных модулей является абелевой, в отличие от категории конечнопорождённых или конечно представленных модулей.

См. также

• Лемма Накаямы
• Нормальная форма Смита

Литература

• Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
• Bourbaki, Nicolas. . Commutative algebra. Chapters 1—7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. — xxiv + 625 p. — (Elements of Mathematics). — ISBN 3-540-64239-0.
• Kaplansky, Irving. . Commutative rings. — Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. — x + 180 p.
• Lam T. Y. . Lectures on modules and rings. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics. No. 189). — ISBN 978-0-387-98428-5.
• Lang, Serge. . Algebra. 3rd ed. — Addison-Wesley, 1997. — ISBN 978-0-201-55540-0.