Коррелированное равновесие

Коррелированное равновесие
Концепция решения в теории игр
Связанные множества решений
Подмножества	Равновесие Нэша
Факты
Авторство	Роберт Ауманн
Примеры	Ястребы и голуби

Коррелированное равновесие (англ. correlated equilibrium) — концепция решения в теории игр, предложенная Робертом Ауманном в 1974 году. Обобщает равновесие Нэша, то есть всякое равновесное по Нэшу решение является и коррелированным равновесием (обратное в общем случае неверно). В основе концепции лежит идея о том, что игроки совершают действия после получения дополнительной информации, источником которой служит коррелирующее устройство (англ. correlating device). Поскольку стратегии игроков зависят от одного и того же сигнала, они коррелируют, чем и объясняется название концепции.

Выделяют объективное и субъективное виды коррелированного равновесия. Субъективное коррелированное равновесие эквивалентно концепции рационализируемости.

Определение

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Имеется игра в нормальной форме с N участниками, $\displaystyle (N,A_{i},u_{i})$. Игрок i характеризуется множеством действий $A_{i}$ и функцией полезности $u_{i}$. Модификацией стратегии i-го игрока называется функция $\phi _{i}\colon A_{i}\to A_{i}$, то есть правило, предписывающее игроку выбрать стратегию $\phi _{i}(a_{i})$ вместо $a_{i}$.

Пусть имеется счётное вероятностное пространство $(\Omega ,\pi )$. Для i-го игрока определены разбиение $P_{i}$ и апостериорное распределение $q_{i}$. Также имеется функция $s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}$, ставящая элементам одного блока одно и то же значение. Тогда кортеж $((\Omega ,\pi ),P_{i},s_{i})$ является коррелированным равновесием игры $(N,A_{i},u_{i})$, если для каждого игрока $i$ и каждой модификации $\phi _{i}$ выполняется

$\sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}(s_{i}(\omega ),s_{-i}(\omega ))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega )\right),s_{-i}(\omega )\right)$

Иначе говоря, $((\Omega ,\pi ),P_{i})$ есть коррелированное равновесие если ни один из игроков не сможет повысить ожидаемую полезность путём применения какой-либо модификации.