Кривизна

Кривизна́ — собирательное название ряда характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Кривизна кривой, заданной параметрически

Пусть $\gamma (s)$ — регулярная кривая в $d$-мерном евклидовом пространстве, параметризованная её длиной $s$. Тогда

$\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|$

называется кривизной кривой $\gamma$ в точке $p=\gamma (s)$, здесь ${\ddot {\gamma }}(s)$ обозначает вторую производную по $s$. Вектор

$k={\ddot {\gamma }}(s)$

называется вектором кривизны $\gamma$ в точке $p=\gamma (s)$.

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной $\tau (s)={\dot {\gamma }}(s)$:

$k={\dot {\tau }}(s),$

где одна точка над буквой означает первую производную по s.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

$\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}$,

где $\gamma '$ и $\gamma ''$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора $\gamma$ в требуемой точке по параметру (при этом под $\times$ для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Связанные понятия

Величина, обратная кривизне кривой ($r=1/\kappa$), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Соприкасающаяся окружность

Кривые на плоскости

Для кривых на плоскости имеет место дополнительная формула, используемая в тех случаях, когда кривая задана не параметрически, а как геометрическое место точек, удовлетворяющих одному уравнению.

Пусть $\gamma$ — регулярная кривая на евклидовой плоскости с координатами $(x,y)$, заданная уравнением $F(x,y)=0$ с дважды непрерывно дифференцируемой функцией $F$. Тогда её кривизна в точке $(x,y)$ вычисляется по формуле

$\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

В частности, если кривая задана уравнением $y=f(x)$, её кривизна вычисляется по формуле

$\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.$

Для того, чтобы кривая $\gamma$ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Ориентированная кривизна плоской кривой

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной. Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной. Ориентированная кривизна выражается формулой

$\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3}}}={\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.$

Знак кривизны зависит от выбора параметризации и не имеет геометрического смысла. Геометрический смысл имеет изменение знака кривизны при переходе через некоторую точку (так называемая точка перегиба) или сохранение знака на некотором участке (характер выпуклости кривой).

Механическая интерпретация

Интуитивно кривизну можно понимать с помощью следующей механической интерпретации

Предположим материальная точка движется вдоль плоской кривой. Тогда модуль нормальной составляющей ускорения $a$ равен

$a=\kappa \cdot v^{2},$

где $\kappa$ — кривизна кривой, $v$ — скорость точки.

Заметим, что кривизна кривой используется как физическая величина, имеет размерность обратную к единице длины (в системе СИ, это 1/м).

Кривизна поверхности

Основная статья: Вторая квадратичная форма

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Пусть $\Phi$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве.

Пусть $p$ — точка $\Phi ,$

$T_{p}$ — касательная плоскость к $\Phi$ в точке $p,$

$n$ — единичная нормаль к $\Phi$ в точке $p,$

а $\pi _{e}$ — плоскость, проходящая через $n$ и некоторый единичный вектор $e$ в $T_{p}.$

Кривая $\gamma _{e},$ получающаяся как пересечение плоскости $\pi _{e}$ с поверхностью $\Phi ,$ называется нормальным сечением поверхности $\Phi$ в точке $p$ в направлении $e.$ Величина

$\kappa _{e}=k\cdot n$,

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $k$ — вектор кривизны $\gamma _{e}$ в точке $p$, называется нормальной кривизной поверхности $\Phi$ в направлении $e$. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой $\gamma _{e}$.

В касательной плоскости $T_{p}$ существуют два перпендикулярных направления $e_{1}$ и $e_{2}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

$\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha$

где $\alpha$ — угол между этим направлением и $e_{1}$, a величины $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$ нормальные кривизны в направлениях $e_{1}$ и $e_{2}$, они называются главными кривизнами, а направления $e_{1}$ и $e_{2}$ — главными направлениями поверхности в точке $p$. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

$H=\kappa _{1}+\kappa _{2}$

называется средней кривизной поверхности. (Иногда используется другое определение: $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$.)

Величина

$K=\kappa _{1}\kappa _{2}$

называется гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Кривизна римановых многообразий
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

Литература

• Виленкин Н. О кривизне (рус.) // Квант. — 1992. — № 4. — С. 2-9, 15.
• Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 128 с. — ISBN 5-93972-020-X.
• Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• Табачников С. Л. О кривизне // Квант. — 1989. — № 5. — С. 15-21, 42.