Магический квадрат

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица $n\times n$, заполненная $n^{2}$ различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от $1$ до $n^{2}$. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна $n^{2}+1$.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков $n\geq 1$, за исключением $n=2$, хотя случай $n=1$ тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

		2	7	6	$\rightarrow$	15
		9	5	1	$\rightarrow$	15
		4	3	8	$\rightarrow$	15
	$\swarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\searrow$
15		15	15	15		15

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

$M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):

Порядок $n$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
$M(n)$	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

$4+5+6=15$

$7+8+9+10=34$

$11+12+13+14+15=65$

$16+17+18+19+20+21=111$

$22+23+24+25+26+27+28=175$

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

В Западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Сумма всех 36 чисел равна 666

666 : 6 = 111

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Магические квадраты Афанасия Кирхера

Квадрат Марса

Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325).

12	25	8	21	4
5	13	26	9	17
18	6	14	22	10
11	19	2	15	23
24	7	20	3	16

325 : 5 = 65

Квадрат Солнца

Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666).

6	32	3	34	35	1
7	11	27	28	8	30
19	14	16	15	23	24
18	20	22	21	17	13
25	29	10	9	26	12
36	5	33	4	2	31

666 : 6 = 111

Квадрат Венеры

Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225).

22	47	16	41	10	35	4
5	23	48	17	42	11	29
30	6	24	49	18	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	14	32	1	26	44	20
21	39	8	33	2	27	45
46	15	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

Квадрат Меркурия

Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080).

8	58	59	5	4	62	63	1
49	15	14	52	53	11	10	56
41	23	22	44	45	19	18	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	30	31	33
17	47	46	20	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	50	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Квадрат Луны

Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры: 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	30	71	22	63	14	46
47	7	39	80	31	72	23	55	15
16	48	8	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	18	50	1	42	74	34	66
67	27	59	10	51	2	43	75	35
36	68	19	60	11	52	3	44	76
77	28	69	20	61	12	53	4	45

3321 : 9 = 369

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

68 2 44 14 38 62 32 74 8

4 62 20 40 44 32 4 42 8 12 74 30 68 18 24 15

Есть еще несколько подобных примеров:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

1	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	11	787	769	773	419	149	751

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Пандиагональный магический квадрат

Пандиагональный или дьявольский квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в стандартной форме Френикля — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при параллельном переносе строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже:

1 8 10 15 14 11 5 4 7 2 16 9 12 13 3 6

1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4

1 12 7 14 15 6 9 4 10 3 16 5 8 13 2 11

1 14 7 12 15 4 9 6 10 5 16 3 8 11 2 13

1 8 13 12 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7

1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6

1 12 13 8 14 7 2 11 4 9 16 5 15 6 3 10

1 12 13 8 15 6 3 10 4 9 16 5 14 7 2 11

1 8 11 14 15 10 5 4 6 3 16 9 12 13 2 7

1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4

1 14 11 8 15 4 5 10 6 9 16 3 12 7 2 13

1 12 6 15 14 7 9 4 11 2 16 5 8 13 3 10

На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности $n=4k+2$ ($k=1,2,3,\dots$).

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Разломанные диагонали пандиагонального квадрата

Если пандиагональный квадрат ещё и ассоциативный, то он носит название идеальный. Пример идеального магического квадрата:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	10	51	58	18	47	57	14	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
4	45	74	3	41	79	8	37	78
53	55	15	49	63	11	48	59	16
30	68	25	35	64	24	31	72	20
76	9	38	75	5	43	80	1	42
17	46	60	13	54	56	12	50	61

Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время существуют идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Построение магических квадратов

Метод террас

Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

$Y$ 4 5 3 4 10 2 3 9 15 1 2 8 14 20 0 1 7 13 19 25 -1 6 12 18 24 -2 11 17 23 -3 16 22 -4 21 . $X$ 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до $N^{2}$.

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

$Y$ 4 3 2 3 16 9 22 15 1 20 8 21 14 2 0 7 25 13 1 19 -1 24 12 5 18 6 -2 11 4 17 10 23 -3 -4 . $X$ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23

Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.

Прочие способы

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка $n$ удается только для $n\leq 4$, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при $n>4$. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами $(i,j)$ (где $i$ и $j$ меняются от 1 до $n$) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида $n=6k+3,k=0,1,2...$.

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижняя левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.

Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов и идеальных магических квадратов 9x9. Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков $n=9(2k+1)$ для $k=0,1,2,3,\dots$. Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка $n>3$. Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3… и совершенных магических квадратов. Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные. Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных).

Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:

18 24 5 6 12 22 3 9 15 16 1 7 13 19 25 10 11 17 23 4 14 20 21 2 8

64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1

100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов

Шахматный подход

Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому не случайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

Изображение схем построения магических квадратов

См. также

• Математическая магия
• Латинский квадрат
• Магический граф
• Магический куб
• Магический шестиугольник
• Чисугвимундо
• Палиндром
• Рамочный магический квадрат
• Судоку
• Супермагический квадрат
• Супермагический куб

Литература

• Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения. — Сеятель, 1924.
• Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.
• М. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.
• Н. М. Рудин. От магического квадрата к шахматам. — М.: Физкультура и спорт, 1969.
• Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969.
• М. Гарднер. Математические досуги. — М.: Мир, 1972.
• Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1989. — 352 с. — ISBN 5-7155-0218-7.
• Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. — СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995.
• Ю. В. Чебраков. Теория магических матриц. — СПб., 2008.
• М. Гарднер. Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990. (недоступная ссылка)
• Чирказов Д. Буквенные магические квадраты как симметричные текстовые массивы. // Современные научные исследования и инновации. — № 11 Ноябрь 2012

Ссылки

• Магические квадраты (недоступная ссылка) (англ.)
• последовательность A164843 в OEIS
• М. Гарднер »Рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри"
• H. Heinz Magic Squares, Magic Stars & Other Patterns (англ.)
• Н. Скрябина, В.Дубовской Магические квадраты
• Шахматный подход
• Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел
• Наименьшие магические квадраты из простых чисел
• «Общие формулы магических квадратов.»
• Магические квадраты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.