Математическая индукция

Доказательство по индукции может быть представлено в виде принципа домино

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером $1$ — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером $n$, то верно и следующее утверждение с номером $n+1$ — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Формулировка

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots$.

Допустим, что

1. Установлено, что $P_{1}$ верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
2. Для любого $n$ доказано, что если верно $P_{n}$, то верно $P_{n+1}$. (Это утверждение называется индукционным переходом.)

Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, $\ldots$. Если для любого натурального $n$ из того, что истинны все $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, $\ldots$, $P_{n-1}$, следует также истинность $P_{n}$, то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть $(\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n}{\Big )}\Rightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n}$.

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при $n=1$ условие $(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n}$ в точности эквивалентно $P_{1}$ (его истинности не из чего следовать). Однако зачастую доказывать индукционный переход для $P_{1}$ всё равно приходится отдельно, так что разумно бывает выделить эту его часть в качестве базы.

Принцип полной математической индукции эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Также он является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.

История

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Примеры

Сумма геометрической прогрессии. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное $n$ и вещественное $q\neq 1$, выполняется равенство

$\sum _{i=0}^{n}q^{i}\equiv 1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Доказательство. Индукцией по $n$ для произвольного $q$.

Докажем базу индукции для $n=1$:

$1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.$

Докажем переход: предположим, что для $n=k$ выполнено

$1+q+\cdots +q^{k}={\frac {1-q^{k+1}}{1-q}},$

тогда для $n=k+1$, согласно предположению:

$1+q+\cdots +q^{k}+q^{k+1}={\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}+q^{k+1}=$

$={\frac {1-q^{k+1}+(1-q)q^{k+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{k+1}+q^{k+1}-q^{(k+1)+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{(k+1)+1}}{1-q}}$.

Значит по принципу математической индукции выполнено равенство для всякого $n$. Что и требовалось доказать.

Комментарий: истинность утверждения $P_{n}$ в этом доказательстве — то же, что истинность равенства

$1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Важные примеры: неравенство Бернулли, бином Ньютона.

Вариации и обобщения

• Обратная индукция
• Структурная индукция
• Трансфинитная индукция

См. также

• Математический софизм#Доказательство по индукции
  • Доказательство одноцветности всех лошадей

Литература

• А. Шень. Математическая индукция. — МЦНМО, 2004. — 36 с.
• Н. Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. — Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1976. — 48 с.
• Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).
• Р. Курант, Г. Роббинс. Глава I, § 2 // Что такое математика?
• И. С. Соминский. Метод математической индукции. — Наука, 1965. — Т. 3. — 58 с. — (Популярные лекции по математике).

Ссылки

• Видео по методу математической индукции