Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).
Евклидова геометрия[править | править код]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Triangle_inequality_%D0%A1.png/250px-Triangle_inequality_%D0%A1.png)
Неравенство
выполняется в любом треугольнике . Причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .
Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
Нормированное пространство[править | править код]
Пусть — нормированное векторное пространство, где — произвольное множество, а — определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо:
Гильбертово пространство[править | править код]
В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.
Метрическое пространство[править | править код]
Пусть — метрическое пространство, где — произвольное множество, а — определённая на метрика. Тогда по определению последней
Вариации и обобщения[править | править код]
Обратное неравенство треугольника[править | править код]
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
Неравенство треугольника для трёхгранного угла[править | править код]
Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Произвольное число точек[править | править код]
Обозначим расстояние между точками и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: [1]
См. также[править | править код]
Примечания[править | править код]
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28