Нормальная высота

Рис. 1. $W_{0}$ — нулевой потенциал, $W_{A}$ — потенциал в точке $A$, $H^{\gamma }$ — нормальная высота точки $A$, $\zeta _{A}$ — аномалия высоты точки $A$

Нормальная высота — один из возможных способов определения высоты от уровня моря. Величина, численно равная отношению геопотенциальной величины в данной точке к среднему значению нормальной силы тяжести Земли по отрезку, отложенному от поверхности земного эллипсоида.

Иначе, значение, которое можно охарактеризовать как: перемещение единичной массы в поле силы тяжести $g$ из некоторой точки $U_{0}$ с потенциалом $W_{0}$ в точку $U$ с потенциалом $W$, деленное на среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке $U_{0}$ до $U$. В отличие от ортометрической высоты при вычислении нормальной высоты нет необходимости иметь информацию о внутреннем строении Земли, так как вычисление нормальной высоты происходит не в реальном, а в нормальном поле.

Общая информация

История введения термина

Впервые нормальные высоты введены М. С. Молоденским, тогда они ещё не имели названия и были обозначены через $q$. В работе того же Молоденского, нормальные высоты были названы вспомогательными. Свое современное название эти высоты, по предложению Молоденского, получили в работе В.Ф. Ермеева

М. С. Молоденский отметил, что определение малой разности между реальным и нормальным гравитационным полем Земли (аномальное поле) имеет строгое решение, если в возникающих уравнениях ввести «вспомогательные» высоты $H^{\gamma }$ под условием:

$W(H)-W_{0}(H=\zeta _{0})=U(H=H^{\gamma })-U_{0}(H=0)$

В. Ф. Еремеев отметил, что «вспомогательные» высоты ближе к суммам нивелирных превышений, чем ортометрические высоты, и по предложению самого Молоденского был введён термин «нормальная высота».

Связь с Балтийской системой высот

При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные исходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, развитая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровненной поверхности $W=W_{0}$, проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах различен, исходные пункты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измерениям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определённого футштока. Так, в СССР была создана Балтийская система высот, в которой исходным пунктом служит Кронштадский футшток. Здесь термин «система» имеет смысл, как система, которая устанавливает некоторую уровенную поверхность, относительно который вычисляют разности потенциалов.

Использование в других странах

Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах, Швеция, Германия, Франция и др.).

В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии приняты нормально-ортометрические высоты.

Особенности использования термина

В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот — относительными высотами. Это аналогично названию координат приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими.

Способы определения

• Геометрическое нивелирование
• Спутниковое нивелирование

Основные сведения

Рис. 2. Точка $P$ — точка поверхности Земли, через которую проходит нормальная уровенная поверхность, $U=U_{p}$ — нормальная уровенная поверхность, $U_{p}$ — нормальный потенциал в точке $P$, $P_{1}{P_{\gamma }}$ — нормальная высота, $\zeta$ — аномалия высоты, $P_{1}{P}$ — геодезическая высота

Натуральная система координат связана с силовыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормальной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, проходящими через данных пункт. Так как нормальное поле не совпадает с действительными, координаты в нормально поле отличаются от натуральных.

Связь с геопотенциальным числом

Установим связь нормального геопотенциального числа $U_{0}-U_{p}$ с действительным $W_{0}-W_{p}$. Для потенциала в точке $P$

$W_{p}=W_{0}-(W_{0}-W_{p})$;

$U_{p}=U_{0}-(U_{0}-U_{p})$

образуем разность $W_{p}-U_{p}$. Учитывая что эта разность равна аномальному потенциалу $T_{p}$ получим

$(U_{0}-U_{p})=(W_{0}-W_{p})+T_{p}-(W_{0}-U_{0})$

Действительное и нормальное геопотенциальное число различается на величину аномального потенциала в точке $P$ и разность $W_{0}-U_{0}$ потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.

Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным и потенциал $W_{0}$ на геоиде был равен потенциалу $U_{0}$ на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки $P$ тоже совпали бы. Однако на силовой линии $P_{1}P$ нормального поля, проходящей через точку $P$, всегда найдется такая точка $P^{\gamma }$ в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному

$U_{0}-U_{p^{\gamma }}\equiv W_{0}-W_{p}$

Причем поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка $P^{\gamma }$ будет не далеко расположена от точки $P$.

Отличие от высоты в нормальном поле

Высота в нормальном поле определена как отрезок $PP_{1}$нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки $P$. Она отличается от геодезической высоты только из-за кривизны нормальной силовой линии, но это отличие практически не ощутимо. Высота в нормальном поле — это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки $P$, а нормальная высота — расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки $P_{1}$ эллипсоида, но не до точки $P$, а до точки $P^{\gamma }$, в который выполняется тождество выше.

Связь с аномалией высоты

Отрезок $P^{\gamma }{P}=\zeta$ появляется из-за несовпадения действительного и нормального поля является элементом аномального поля. Его называют аномалией высоты.

Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями проходящими через точки $P$ и $P^{\gamma }$. Согласно формуле $dU=-\gamma {dH_{H}}$, полагая $dU=U_{p}-U_{p\gamma }$ и $dH_{H}=\zeta$, находим

$\zeta ={U{p\gamma }-U_{p} \over \gamma }$

где $\gamma$ — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке $\zeta$

Связь с геодезической высотой

Высота $H_{H}=P_{1}{P}$ равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты

$H_{H}=H^{\gamma }+\zeta$

Так как высота в нормальном поле практически совпадает с геодезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот

$H=H^{\gamma }+\zeta$

Основная формула

Перенесём измеренную разность потенциалов в нормальное поле:

$W_{A}-W_{0}=-\int \limits _{(W_{0})}^{(W)}gdh=U'-U_{0}=-\int \limits _{(U_{0})}^{(U')}\gamma dh=-\gamma ^{m}H^{\gamma }$

где точка с нормальным потенциалом $U'$не совпадает с точкой H на земной поверхности, а лежит с ней практически на одной нормали к эллипсоиду (см. рис. 1), $\gamma ^{m}$ — среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке от $U_{0}$ до $U'$:

$\gamma ^{m}={1 \over H^{\gamma }}\int \limits _{(U_{0})}^{(U')}\gamma dH$

что можно вычислить с любой степенью точности, в отличие от грубо известного $g^{m}$, где $g^{m}$ — среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке силовой линии. Из условия выше имеем:

${\displaystyle H^{\gamma }={1 \over \gamma ^{m}}\int \limits _{(W_{0})}^{(W)}gdh=-{W-W_{0} \over \gamma ^{m}}}$ — нормальная высота точки земной поверхности.

В простейшем случае $\gamma ^{m}$ можно определить по нормальному градиенту как $\gamma$ на половине $H^{\gamma }$, то есть:

$\gamma _{0}-{\partial \gamma \over \partial H}{H^{\gamma } \over 2}$