Окружность Ламуна

Окружность Ламуна, проходящая через центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: $A_{b}$, $A_{c}$, $B_{c}$, $B_{a}$, $C_{a}$, $C_{b}$

В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике $T$. Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник $T$ разрезают три его медианы. Пусть для определенности $A$, $B$, $C$ — 3 вершины треугольника $T$, и пусть $G$ — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть $M_{a}$, $M_{b}$ и $M_{c}$ — середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: $AGM_{c}$, $BGM_{c}$, $BGM_{a}$, $CGM_{a}$, $CGM_{b}$ и $AGM_{b}$, лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна (англ. the van Lamoen circle).

История

Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна (Floor van Lamoen), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г.. Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли (Kin Y. Li) в 2001 г. ,

Свойства

Центром окружности Ламуна является точка $X(1153)$ в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга. В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву (Peter Y. Woo) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть $P$ — любая точка внутри треугольника, и $AA'$, $BB'$ и $CC'$ — три его чевианы, то есть отрезки, которые соединяют каждую вершину с $P$, продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников $APB'$, $APC'$, $BPC'$, $BPA'$, $CPA'$ и $CPB'$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда $P$ является центроидом треугольника $T$ или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот). Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха (Nguyen Minh Ha) в 2005 году.

См. также

• Окружность Парри
• Окружность Лестера