Показательная функция

Показательная функция — математическая функция $f(x)=a^{x}$, где $a$ называется основанием степени, а $x$ — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени $a$ — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — $u^{v}$, введена Лейбницем в 1695 г.

График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание $a$ может быть представлено в виде степени числа е ($a=e^{\ln a}$), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть $a$ — неотрицательное вещественное число, $x$ — рациональное число: $x={\frac {m}{n}}$. Тогда $a^{x}$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если $x>0$, то $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.
• Если $x=0$ и $a\neq 0$, то $a^{x}=1$.
  • Значение $0^{0}$ не определено (см. Ноль в степени ноль).
• Если $x<0$ и $a>0$, то $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}}}$.
  • Значение $a^{x}$ при $x<0,a=0$ не определено.

Для произвольного вещественного показателя $x$ значение $a^{x}$ можно определить как предел последовательности

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}$

где $\{r_{n}\}$ — последовательность рациональных чисел, сходящихся к $x$. То есть

$\lim _{n\to \infty }r_{n}=x$

Свойства

Свойства возведения в степень:

• $a^{0}=1$
• $a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
• $(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
• $a^{x}$ / $b^{x}$ = $(a/b)^{x}$

Промежутки монотонности:

Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

При $a>1$ показательная функция всюду возрастает, причём:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (для всякого $n$)
• $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$

При $0<a<1$ функция, соответственно, убывает, причём:

• $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (для всякого $n$)
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

$f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x$ (логарифм $x$ по основанию $a$)

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ (такое число $a$, производная показательной функции которого равна самой функции):

${\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\,dx$

Возможность определения $a_{0}$ легко увидеть после сокращения на $a_{0}^{x}$:

$a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx}$

Выбирая $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}$, окончательно получим число Эйлера:

$a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Отметим, что функцию $e^{x}$ можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

Откуда имеем более точное приближение:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

Единственность числа $e$ легко показать, варьируя $e^{x}$. Действительно, если $e_{1}^{x}$ пройдёт где-то выше, чем $e^{x}$, то на том же промежутке найдётся область, где $(e_{1}^{x})'<e^{x}$.

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма $\ln \,x:e^{\ln x}=x$, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: $a^{x}=e^{\ln(a)\,x}$, откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

$(a^{x})'=\ln(a)a^{x}$

Неопределённый интеграл:

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

Потенцирование и антилогарифм

Изображение функции нахождения десятичного (10^x) и натурального (e^x) антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от нем. potenzieren) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения $\log _{a}x=b$. Из определения логарифма вытекает, что $x=a^{b}$, таким образом, возведение $a$ в степень $b$ может быть названо другими словами «потенцированием $b$ по основанию $a$», или вычислением показательной функции от $b$.

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании $a$) равен числу $x$:

$\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.$

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа $a$ по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа $a,$ разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию $e$ или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом.

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: $e^{x}$ и $10^{x}$.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots$

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для $e^{ix}$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

$e^{z+2\pi i}=e^{z}$

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$; поскольку $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$.

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента
• Двойная экспоненциальная функция

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0,. — ISBN 5-9221-0155-2.
• Антилогарифм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.