Преобразование Боголюбова

В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике.

Случай бозонов

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

$\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.$

Определим новую пару операторов

${\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }$

${\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,$

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам ${\hat {a}}$ и ${\hat {a}}^{\dagger }$ операторы ${\hat {b}}{\text{ и}}{\hat {b}}^{\dagger }$. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].$

Очевидно, что $\,|u|^{2}-|v|^{2}=1$ — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

$u=e^{i\theta _{1}}\operatorname {ch} r$

$v=e^{i\theta _{2}}\operatorname {sh} r~.$

Случай фермионов

Для антикоммутатора

$\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1$,

такое же преобразование с u и v приводит к

$\left\{{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}$

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

$u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!$

$v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.$