Равномерно темперированный строй

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Равноме́рно темпери́рованный строй, равномерная темперация (нем. gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung) — темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава делится на математически равные интервалы, в наиболее типичном случае — на двенадцать полутонов, каждый из которых равен . Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке (академической и эстрадной) начиная с XVIII века до наших дней. Важным преимуществом равномерной темперации является возможность транспонирования пьесы на произвольный интервал.

Исторический очерк[править | править код]

Равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» для музыки строя. Исторически предшествующие чистый и среднетоновый строи не позволяли транспонировать и модулировать в отдалённые тональности без того, чтобы в консонирующих созвучиях — прежде всего, в трезвучиях и их обращениях — не возникал резкий акустический диссонанс.

Непосредственным предшественником равномерно темперированного строя в Европе был «хорошо темперированный» строй — семейство неравномерных темпераций, позволявших более или менее успешно (с разной степенью «акустической чистоты») играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистов[1] такого строя был Андреас Веркмейстер. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией[2].

Невозможно с достоверностью указать, кто именно «изобрёл» равномерную темперацию. Среди первых её теоретиков называют Генриха Грамматеуса (1518), Винченцо Галилея (1581) и Марена Мерсенна. Симон Стевин в своём труде «О теории певческого искусства» (ок. 1585) дал математически точный расчёт равномерной темперации. Написанная на родном языке Стевина (фламандском) его работа не получила резонанса; посмертная слава пришла к Стевину спустя 300 лет, в 1884 году, когда она была опубликована и затем переведёна на другие языки.

Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 года[3]. Однако, какое практическое значение расчёты принца имели для западной музыкально-теоретической традиции, неизвестно.

У нового строя были свои оппоненты (например, Джузеппе Тартини) и свои пропагандисты (особенно Иоганн Георг Нейдхардт). Равномерно темперированный строй вызывал отклонения от акустической («природной») чистоты созвучий, в результате в них появились небольшие биения. По мнению одних, эти нарушения чистоты были незначительной потерей, особенно с учётом новых возможностей, которые такой строй давал развитию тональной гармонии. Другие же рассматривали потерю «природной» чистоты как посягательство на «чистоту» музыки.

Противоречивость эстетических критериев (природная чистота против модуляционной свободы и неограниченной транспозиции) отражалась в трудах теоретиков музыки. Так, Веркмейстер утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) приобретают монотонную симметрию, в то время как в «хороших» строях каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. С другой стороны, он же в позднем трактате «Musikalische Paradoxal-Discourse» (1707) в полемике с Нейдхардтом защищал свой приоритет в «изобретении» равномерно темперированного строя. Уже в XVIII веке идея свободного развёртывания тональности одержала верх над идеей природной «акустической» чистоты. В академической и эстрадной музыке равномерная темперация получила мировое признание и стала фактическим стандартом музыкального строя.

Вычисление частот звуков[править | править код]

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой:

,

где f0 — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от исследуемого звука к эталону f0.

Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:

например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль:
если надо вычислить частоту ноты Соль, но на октаву (12 полутонов) выше:

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву.

Сравнение с натуральным строем[править | править код]

Равномерно темперированный строй можно отобразить в виде значений интервалов в центах:

Тон C1 C D D♯ E F F G G A A B C2
Цент 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Следующая таблица показывает количественные отличия интервалов равномерно темперированного ряда от натуральных интервалов:

Интервал Равномерно темперированные интервалы Натуральные интервалы Разница в центах
Прима центов центов 0
Малая секунда центов центов −11,73
Большая секунда центов центов −3,91
Малая терция центов центов −15,64
Большая терция центов центов 13,69
Кварта центов центов 1,96
Тритон центов центов 9,78
Квинта центов центов −1,96
Малая секста центов центов −13,69
Большая секста центов центов 15,64
Малая септима центов центов 3,91
Большая септима центов центов 11,73
Октава центов центов 0

Расчётные частоты для клавиатуры фортепиано[править | править код]

Примечания[править | править код]

  • Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц.
  • О феномене неточного равенства рассчитанных и реальных частот настроенного фортепиано (расширения интервалов на краях диапазона), см. Кривые Рейлсбека.

Субконтроктава[править | править код]

Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 16,352 До2 C2 C0 -52 Субконтроктава
2 18,354 Ре2 D2 D0 -50
3 20,602 Ми2 E2 E0 -48
4 21,827 Фа2 F2 F0 -47
5 24,500 Соль2 G2 G0 -45
6 27,500 Ля2 A2 A0 -43
7 30,868 Си2 H2 B0 -41

Контроктава[править | править код]

Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 32,703 До1 C1 C1 -40 Контроктава
2 36,708 Ре1 D1 D1 -38
3 41,203 Ми1 E1 E1 -36
4 43,654 Фа1 F1 F1 -35
5 48,999 Соль1 G1 G1 -33
6 55,000 Ля1 A1 A1 -31
7 61,735 Си1 H1 B1 -29

Большая октава[править | править код]

Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 65,406 До C C2 -28 Большая октава
2 73,416 Ре D D2 -26
3 82,406 Ми E E2 -24
4 87,307 Фа F F2 -23
5 97,999 Соль G G2 -21
6 110,00 Ля A A2 -19
7 123,47 Си H B2 -17

Малая октава[править | править код]

Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 130,81 до c C3 -16 Малая октава
2 146,83 ре d D3 -14
3 164,81 ми e E3 -12
4 174,61 фа f F3 -11
5 196,00 соль g G3 -9
6 220,00 ля a A3 -7
7 246,94 си h B3 -5

Первая октава[править | править код]

Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 261,63 до1 c1 C4 -4 Первая октава
2 293,67 ре1 d1 D4 -2
3 329,63 ми1 e1 E4 -0
4 349,23 фа1 f1 F4 +0
5 392,00 соль1 g1 G4 +2
6 440,00 ля1 a1 A4 +4
7 493,88 си1 h1 B4 +6

Вторая октава[править | править код]

Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 523,25 до2 c2 C5 +7 Вторая октава
2 587,33 ре2 d2 D5 +9
3 659,26 ми2 e2 E5 +11
4 698,46 фа2 f2 F5 +12
5 783,99 соль2 g2 G5 +14
6 880,00 ля2 a2 A5 +16
7 987,77 си2 h2 B5 +18

Третья октава[править | править код]

Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 1046,5 до3 c3 C6 +19 Третья октава
2 1174,7 ре3 d3 D6 +21
3 1318,5 ми3 e3 E6 +23
4 1396,9 фа3 f3 F6 +24
5 1568,0 соль3 g3 G6 +26
6 1760,0 ля3 a3 A6 +28
7 1975,5 си3 h3 B6 +30

Четвёртая октава[править | править код]

Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 2093,0 до4 c4 C7 +31 Четвёртая октава
2 2349,3 ре4 d4 D7 +33
3 2637,0 ми4 e4 E7 +35
4 2793,8 фа4 f4 F7 +36
5 3136,0 соль4 g4 G7 +38
6 3520,0 ля4 a4 A7 +40
7 3951,1 си4 h4 B7 +42

Пятая октава[править | править код]

Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 4186,0 до5 c5 C8 +43 Пятая октава
2 4698,6 ре5 d5 D8 +45
3 5274,0 ми5 e5 E8 +47
4 5587,7 фа5 f5 F8 +48
5 6271,9 соль5 g5 G8 +50
6 7040,0 ля5 a5 A8 +52
7 7902,1 си5 h5 B8 +54

Варианты равномерной темперации[править | править код]

Наиболее общепринятой и распространённой равномерной темперацией (РТ) является 12-ступенная (именно ей соответствовала приведённая выше информация).

Однако существуют и варианты равномерной темперации с другим числом делений октавы (n). При этом формула для частот модифицируется в

.

Чтобы выражение «n-ступенная РТ» писать короче, вводится сокращение «n-тРТ»[источник не указан 4151 день], где числу n соответствует количество ступеней на октаву. Есть музыкальные произведения, написанные в 19-тРТ[4], 24-тРТ, 31-тРТ[5] и даже 53-тРТ[6]. В начале XXI века П. А. Чернобривец работает над исследованием 20-ступенной равномерной темперации[7].

Выбор значения n = 12 в качестве основного обусловлен тем, что для акустически чистого звучания многоголосных музыкальных произведений особенно важно чистое звучание квинт (как наиболее «консонансных», не считая октавы, интервалов), а в идеале соотношение частот образующих квинту нот должно равняться 3/2. При РТ «квинта» для каждого n отвечает такому числу k, что , и перебором можно проверить, что при n = 12 (с k = 7 — это ближайшее целое к ln(3/2)/ln(2)n) достигается лучшее приближение, нежели при меньших или несколько бóльших n (точнее было бы при n = 41 или n = 53, но слишком большие n неудобны с практической точки зрения)[8].

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, в англоязычной литературе, например, широко используется словосочетание «equal divisions of an octave» или его сокращённая форма EDO. В русском языке тот же смысл передаёт словосочетание «равные деления октавы» или РДО. Поэтому 12-тРТ может также обозначаться как 12РДО, 19-тРТ как 19РДО и так далее[9].

Равномерно темперированный и другие строи[править | править код]

Наряду с господствующим ныне равномерно темперированным строем существовали и другие строи. Русский исследователь музыки XIX века Владимир Одоевский, например, написал так:

Русский простолюдин с музыкальным дарованием, у которого ухо ещё не испорчено ни уличными шарманками, ни итальянскою оперою, поет весьма верно; и по собственному чутью берет интервал весьма отчетливо, разумеется, не в нашей уродливой темперированной гамме <…> Я записывал с голоса [известного нашего русского певца Ивана Евстратиевича Молчанова, человека с чудною музыкальною организациею] весьма интересную песню: «У Троицы, у Сергия, было под Москвою» <…> заметил, что Si певца никак не подходит к моему фортепианному Si; и Молчанов также заметил, что здесь что-то не то <…> Это навело меня на мысль устроить фортепиано нетемперированное в такой системе, как обыкновенное. За основание я принял естественную гамму, вычисленную акустическими логарифмами по методе Прони; в этом энгармоническом клавицине все квинты чистые, диезы, отмеченные красным цветом, отделены от бемолей и по невозможности в самом механизме инструмента, я пожертвовал fa и ut, чтобы сохранить si и mi, потому что наши народные певцы — по непонятной для меня причине поют более в диезных нежели в бемольных тонах

В. Ф. Одоевский[10]

Широкомасштабное движение музыкантов-аутентистов практикует воспроизведение музыки прошлого в тех строях, в которых исполняемая ими музыка была написана.

В неевропейской традиционной музыке сохраняется практика использования строев, отличающихся от равномерно темперированного, — во всех жанрах и формах мощной макамо-мугамной традиции[11], а также в индийской[12] и др.

Примечания[править | править код]

  1. См. Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
  2. Bach, J. S.  (англ.). J. S. Bach: The Well-Tempered Clavier (неопр.) / Palmer, Willard A.. — Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing  (англ.), 2004. — С. 4. — ISBN 0882848313.
  3. Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Архивировано 5 марта 2012 года.
  4. Nine Preludes for Two Pianos in 19-Tone Temperament Архивная копия от 26 февраля 2012 на Wayback Machine by Joel Mandelbaum[en]
  5. Concert No. 2 for two violins and orchestra Архивная копия от 1 сентября 2012 на Wayback Machine by Henk Badings[en]*, 1969
  6. Letter from B. Cicovacki to P. Scaruffi Архивная копия от 14 декабря 2011 на Wayback Machine (англ.):

    Иосип Славенски написал произведение для электронных инструментов с названием «Музыка в Натуральной тональной системе» (1937). В нём две части, первая написана для фисгармонии Бозанкета с 53 тонами в октаве…"

    …JOSIP STOLCER SLAVENSKI <…> composed a composition for electronic insruments with the title Music in the Natural Tonal System (1937). It includes two movements: the first movement is written for the Bosanquet enharmonium with 53 tones in an octave»)

  7. Чернобривец П. А. Звуковысотные отношения и особенности системообразования в условиях двадцатитоновой равномерной темперации. Журнал Общества теории музыки. № 8. 2014/4. Дата обращения: 29 июля 2022. Архивировано 3 марта 2022 года.
  8. Волошинов, А. В. Математика и искусство (гл. 9: «Алгебра гармонии – темперация»). — Москва: Просвещение, 1992. — ISBN 5090027056. Архивировано 8 января 2019 года.
  9. Алиева И. Микротональная нотация посредством числовых уточнений знаков альтерации (на примере звукоряда тара) Архивная копия от 15 января 2013 на Wayback Machine
  10. Одоевский В. Ф. [«Русскии простолюдин...»]. Цит. из сборника В. Ф. Одоевский. Музыкально-литературное наследие.— М.: Государственное музыкальное издательство, 1956.— с. 481—482
  11. В отечественной науке на это указывал, начиная с конца 1920-х годов, выдающийся музыковед и этнограф В. М. Беляев; см. например, его работы: Туркменская музыка. Том 1. М., 1928 (совм. с В. А. Успенским); Руководство для обмера народных музыкальных инструментов, М., 1931; Музыкальные инструменты Узбекистана, М., 1933; Ладовые системы в музыке народов СССР // В. М. Беляев. [Сб. статей]. М.: Сов. композитор, 1990. Среди современных публикаций — доклад С. Агаевой и Ш. Гаджиева «О проблемах исследования звуковысотной системы азербайджанских мугамов». VII Междунар. симпозиум науч.-иссл. группы «Макам» при Междунар. Совете по трад. муз. ЮНЕСКО. Баку. 2011. С. 20-32; см. также упомянутую статью Архивная копия от 15 января 2013 на Wayback Machine И. Алиевой. Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в O. Wright et al. Arab Music. I. Art Music // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001; H. Farhat. Iran. II. Classical traditions. 2. Theory of intervals and scales, 3. The modal system. // ibid. Также см. 'Issam El-Mallah. Arab Music and Musical Notation. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. The Interface between Theory and Practice: Intonation in Arab Music. Asian Music, Vol. 24, No. 2 (1993), pp. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216-26.
  12. Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в Powers H. and Widdess R. India, subcontinent of. III. Theory and practice of classical music. 1. Tonal systems // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001.

Литература[править | править код]

  • Barbour J. M. Tuning and temperament: A historical survey. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
  • Lindley M. Lutes, viols and temperaments. Cambridge, 1984;
  • Lindley M. Stimmung und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt, 1987, S.109-331.
  • Lindley M., Turner-Smith R. Mathematical models of musical scales: A new approach. Bonn, 1993;
  • Auhagen W. Stimmung und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart. Sachteil. Bd. 8. Kassel; Basel, 1998, Sp. 1831—1847.
  • Rasch R. Tuning and temperament // The Cambridge history of Western music theory. Cambridge, 2002, p.193-222.

Ссылки[править | править код]