Решётка Лича

Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.

Построения

Конструкция через код Голея

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея ${\mathcal {C}}$ типа $[24,12,8]$ как образ при сжатии в $2{\sqrt {2}}$ раз множества векторов $(a_{1},\dots ,a_{24})\in \mathbb {Z} ^{24}$ таких, что

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}$

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

$v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4}},\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4}},\end{cases}}$

принадлежит ${\mathcal {C}}$.

Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1)

Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка $\mathrm {II} _{25,1}$, состоящая из векторов $(x_{0},\dots ,x_{25})$, у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом $x_{0}+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb {Z}$, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор $u=(0,1,\dots ,24,70)$. Отметим, что в силу изотропности $u\in \langle u\rangle ^{\perp }$, поэтому можно рассмотреть факторпространство $\langle u\rangle ^{\perp }/\langle u\rangle$. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности $u$) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ $(\langle u\rangle ^{\perp }\cap \mathrm {II} _{25,1})/\langle u\rangle$ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.

Свойства

• Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2.

• Решётка Лича реализует максимально возможное контактное число в размерности 24. Её контактное число равно 196560

• Решётка Лича реализует плотнейшую упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930$.

• Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея Co₀. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co₁ как факторгруппу Co₀ по инверсии пространства, Co₂ и Co₃ как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.

См. также

• Решётка E8

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.