Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.

На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

Определение

Пусть $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ есть гиперплоскость и $\Phi$ — данная фигура в $\mathbb {R} ^{n}$.

Введём ортогональную систему координат, в которой $H$ описывается уравнением $x_{n}=0$. Для каждой точки $x\in H$ пусть $\ell _{x}$ обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к $H$ через $x$, с множеством $\Phi$. Далее проведём через $x$ отрезок длины $\ell _{x}$ с серединой в $x$, перпендикулярный к $H$. Объединение $\Phi ^{*}$ таких отрезков есть симметризация Штайнера $\Phi$ относительно $H$.

Свойства

Случай равенства периметров в симметризации Штайнера

• Объём $\Phi ^{*}$ совпадает с объёмом $\Phi$.

• Площадь поверхности $\Phi ^{*}$ не превосходит площади поверхности $\Phi$.
  • Если $\Phi$ выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей $\Phi ^{*}$ и $\Phi$ достигается только в случае, если $\Phi$ зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации.
  • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных $\Phi$, например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.

• Если $\Phi$ выпукла, то же верно и для $\Phi ^{*}$.

• Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

  $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

где $\Phi$ и $\Psi$ — произвольные фигуры, $\Phi ^{*}$ и $\Psi ^{*}$ — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а $d_{H}$ — метрика Хаусдорфа.

• Если $\Phi \subset \Psi$, то $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$.

Вариации и обобщения

Круговая симметризация

• Симметризация Пойа (круговая).
• Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.

Литература

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.