Скалярная кривизна

Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается $\mathrm {Sc}$ или $\mathrm {R}$.

Определение

Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.

Пользуясь соглашением Энштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора $g$ и тензора Риччи $\mathrm {Ric}$

$R=g^{\mu \nu }\,\mathrm {Ric} _{\mu \nu }.$

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

$S_{G}=\varkappa \int \limits _{M}R$

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны $R$.

Свойства

• Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
  • Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на $2\pi$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Задача Ямабе