Сферический сегмент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом[1]. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности[править | править код]

Если радиус основания сегмента равен , высота сегмента равна , тогда объём шарового сегмента равен [2]

площадь поверхности сегмента равна

или

Параметры , и связаны соотношениями

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) в нижней части сферы следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение и можно привести другое выражение для объёма:

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

Применение[править | править код]

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер[править | править код]

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен [3]

,

где

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению [4][5]

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт[править | править код]

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна [6]

Площадь квадратного участка поверхности шара[править | править код]

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении при

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 36002 раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км2 / (60 · 60)2 ≈ 956 м2.

Обобщения[править | править код]

Сечения других тел[править | править код]

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы[править | править код]

Объём -мерного сегмента гиперсферы высотой и радиуса в -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

где (гамма-функция) задаётся выражением

Выражение для объёма можно переписать в терминах объёма единичного -мерного шара и гипергеометрической функции или регуляризованной неполной бета-функции как

Формула для площади поверхности может быть записана в терминах площади поверхности единичного -мерного шара как

где

Также справедливы следующие формулы[8]: где

При

Было показано[9], что при и где стандартное нормальное распределение.

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
  2. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists (англ.). — Chapman & Hall/CRC, 2007. — P. 69. — ISBN 9781584885023. Архивировано 2 февраля 2017 года.
  3. Connolly M. L. Computation of molecular volume (англ.) // J. Am. Chem. Soc  (англ.). — 1985. — Vol. 107. — P. 1118—1124. — doi:10.1021/ja00291a006.
  4. Pavani R., Ranghino G. A method to compute the volume of a molecule (англ.) // Comput. Chem. — 1982. — Vol. 6. — P. 133—135. — doi:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
  5. Bondi A. Van der Waals volumes and radii (англ.) // J. Phys. Chem.  (англ.). — 1964. — Vol. 68. — P. 441—451. — doi:10.1021/j100785a001.
  6. Donaldson S. E., Siegel S. G. Successful Software Development. — 2nd ed.. — Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. — С. 354. — ISBN 0-13-086826-4.
  7. Li S. Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap (англ.) // Asian J. Math. Stat. — 2011. — Vol. 4, no. 1. — P. 66—70. — doi:10.3923/ajms.2011.66.70.
  8. Чуднов А. М. О минимаксных алгоритмах формирования и приема сигналов // Пробл. передачи информ. — 1986. — Т. 22. — С. 49—54. Открытый доступ
  9. Чуднов А. М. Теоретико-игровые задачи синтеза алгоритмов формирования и приема сигналов // Пробл. передачи информ. — 1991. — Т. 27. — С. 57—65. Открытый доступ