Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Теорема Ван-Обеля — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые $AP$, $BP$, $CP$ пересекают соответственно прямые $BC$, $CA$ и $AB$, содержащие стороны треугольника $ABC$ соответственно в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$, то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$.

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы Ван-Обеля:

  ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$.

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

См. также

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы