Теорема Лагранжа (теория групп)
Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы равен порядку любой подгруппы , умноженному на её индекс, то есть что верно равенство .
Доказательство[править | править код]
Далее будем считать классы смежности левыми.
Разбиение на смежные классы есть отношение эквивалентности. Действительно, если для , то существуют , что . Так как мы в группе, то можем домножить на обратный к , получив , откуда . Повторив процедуру в другую сторону, получим, что . То есть .
При этом , то есть в каждом классе смежности равное количество элементов, а группа распадается на таких.
Следствия[править | править код]
- Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы в одинаково и называется индексом подгруппы в (обозначается ).
- Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок .
- Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы делит порядок . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
- Группа порядка , где — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок , и значит, каждый из них порождает группу.)
История[править | править код]
Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.