Теорема Нагумо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы[править | править код]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:

(1.1)
(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи (1.1—1.2), нам понадобится ряд определений.

Пусть функция определена при всех , где .

Определение. Будем говорить, что функция принадлежит классу функций Нагумо[2] на множестве и писать , если найдётся такая положительная непрерывная функция , что

(2.1)
(2.2)

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции и , принадлежащие , и такие, что

(3.1)
(3.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция , принадлежащая и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом и каждому из граничных условий (1.2).

Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее и верхнее решения задачи (1.1—1.2), что

(4.1)
(4.2)

где . Тогда существует по крайней мере одно классическое решение задачи (1.1—1.2), принадлежащее и заключённое между барьерными решениями и :

(4.3)

Доказательство теоремы[править | править код]

Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.

Лемма 1. Пусть  — замкнутая ограниченная область на плоскости и пусть . Тогда любая интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через внутреннюю точку области , может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Nagumo M. Über die differenzialgleichung . — pp. 864—865.
  2. В работе Ф. Хартмана используется термин функция Нагумо — см. Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations. — p. 494.

Литература[править | править код]

  • Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations (англ.) // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Section 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry. — 1965. — Vol. 12. — P. 17—43. — ISSN 0368—2269.

Ссылки[править | править код]