Теорема Нагумо

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:

$y''=f(x,y,y'),\quad x\in (a,b),$

(1.1)

$y(a)=y^{a},\quad y(b)=y^{b}.$

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи (1.1—1.2), нам понадобится ряд определений.

Пусть функция $f(x,y,z)$ определена при всех $(x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R}$, где ${\mathfrak {B}}\subset \mathbb {R} ^{2}$.

Определение. Будем говорить, что функция $f(x,y,z)$ принадлежит классу функций Нагумо на множестве ${\mathfrak {B}}$ и писать $f\in N({\mathfrak {B}})$, если найдётся такая положительная непрерывная функция $\varphi (u)$, что

$1)\ \forall (x,y,z)\in {\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} \Rightarrow |f(x,y,z)|\leqslant \varphi (|z|),$

(2.1)

$2)\ \int _{0}^{\infty }{\frac {u\,du}{\varphi (u)}}=+\infty .$

(2.2)

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции ${\underline {\omega }}(x)$ и ${\overline {\omega }}(x)$, принадлежащие $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$, и такие, что

$1){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),\\[.5ex]{\underline {\omega }}(b)<y^{b}<{\overline {\omega }}(b);\end{array}}$

(3.1)

$2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}''(x)>f(x,{\underline {\omega }}(x),{\underline {\omega }}'(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}''(x)<f(x,{\overline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}'(x)),\end{array}}\ \forall x\in (a,b).$

(3.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция $y(x)$, принадлежащая $C^{2}(a,b)\cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом $x\in (a,b)$ и каждому из граничных условий (1.2).

Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее ${\underline {\omega }}(x)$ и верхнее ${\overline {\omega }}(x)$ решения задачи (1.1—1.2), что

$1)\ \forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<{\overline {\omega }}(x),$

(4.1)

$2)\ f(x,y,z)\in C^{0,1,1}({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}}),$

(4.2)

где ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи (1.1—1.2), принадлежащее $C^{2}[a,b]$ и заключённое между барьерными решениями ${\underline {\omega }}(x)$ и ${\overline {\omega }}(x)$:

$\forall x\in [a,b]\Rightarrow {\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).$

(4.3)

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.

Лемма 1. Пусть ${\mathfrak {B}}$ — замкнутая ограниченная область на плоскости $(x,y)$ и пусть $f(x,y,z)\in C({\mathfrak {B}}\times \mathbb {R} )\cap N({\mathfrak {B}})$. Тогда любая интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через внутреннюю точку области ${\mathfrak {B}}$, может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.

См. также

• Метод стрельбы

Литература

• Nagumo M. Über die differenzialgleichung $y''=f(x,y,y')$ (нем.) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1937. — Bd. 19, Nr. 10. — S. 861—866. — ISSN 0370—1239.

• Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1960. — Vol. 96, no. 3. — P. 493—509. — ISSN 0002—9947.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations (англ.) // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Section 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry. — 1965. — Vol. 12. — P. 17—43. — ISSN 0368—2269.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, II (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1967. — Vol. 10, no. 2 (September). — P. 145—162. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, III (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1968. — Vol. 11, no. 2 (November). — P. 111—129. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, IV (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1969. — Vol. 11, no. 3 (February). — P. 185—195. — ISSN 0532—8721.

• Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, V (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1970. — Vol. 12, no. 3 (February). — P. 239—249. — ISSN 0532—8721.

• Jackson L. K. A Nagumo condition for ordinary differential equations (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1976. — Vol. 57, no. 1. — P. 93—96. — ISSN 0002-9939.

• Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos A. I. Higher order nonlinear two‐point boundary value problems with sign‐type Nagumo condition (англ.) // Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine: International Conference on Boundary Value Problems: Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine (AIP Conference Proceedings) / Editors: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. — Melville, N. Y.: AIP, 2009. — Vol. 1124. — P. 195—204. — ISBN 978-0-7354-0660-5. — ISSN 0094-243X. — doi:10.1063/1.3142933. (недоступная ссылка)

• Bailey P.B., Shampine L.F., Waltman P.E. Chapter 6. Principal Existence Theorems, Chapter 7. Further Existence and Uniqueness Results // Nonlinear Two Point Boundary Value Problems. — 1st Edition. — 111 Fifth Avenue, N. Y.: Academic Press Inc., 1968. — Vol. 44. — 172 p. — (Series Mathematics in Science and Engineering). — ISBN 978-0-12-073350-7.

Ссылки

• А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. Архивная копия от 31 мая 2014 на Wayback Machine
• М. Нагумо. О дифференциальном уравнении $y''=f(x,y,y')$ (перевод с немецкого).