Теорема Эйлера о четырёхугольниках

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,b,c,d$ и диагоналями $e$ и $f$, середины которых соединены отрезком $g$, выполняется равенство:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$$

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок $g$ имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:

$$2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}$$

каковая называется тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

$$2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}$$

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

$$a^{2}+b^{2}=e^{2}$$

Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора.

Альтернативные формулировки и расширения

Теорема Эйлера для параллелограмма

Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.

Для заданного выпуклого четырёхугольника $ABCD$ Эйлер ввёл дополнительную точку $E$, такую, что $ABED$ образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:

$$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}$$

Расстояние $|CE|$ между дополнительной точкой $E$ и точкой $C$ четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена $|CE|^{2}$ в исходном равенстве тождества параллелограмма.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AC$, то получаем ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2$. Точка $N$ является серединой отрезка $BD$, и она также является серединой отрезка $AE$, поскольку $AE$ и $BD$ являются диагоналями параллелограмма $ABED$. Отсюда получаем ${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2$, и, следовательно, ${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$. Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что $CE$ и $NM$ параллельны. Тогда $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$, откуда и следует теорема Эйлера.

Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которре включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, связанных рёбрами с образованием графа-цикла.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.