Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$. Тогда статистику ${\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})$, принимающую значения в $\displaystyle \Theta$, называют точечной оценкой параметра $\theta$.

Замечание

Формально статистика ${\hat {\theta }}$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра $\theta$. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка ${\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)$ называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

$\mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta$,

где $\mathbb {E} _{\theta }$ обозначает математическое ожидание в предположении, что $\theta$ — истинное значение параметра (распределения выборки $X$).

• Оценка ${\hat {\theta }}$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка ${\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: $\forall \theta \in \Theta$,

${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$ по вероятности при $n\to \infty$.

• Оценка ${\hat {\theta }}_{n}$ называется сильно состоятельной, если $\forall \theta \in \Theta$,

${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$ почти наверное при $n\to \infty$.

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка

Литература

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.