Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity, иногда применяются также термины гиперскорость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

$\theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},$

где

• $\theta$ — быстрота,
• $v$ — обычная скорость,
• $c$ — скорость света,
• $\operatorname {Arth} x$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\to \pm 1$ функция $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от $-c$ до $+c$ меняется от $-\infty$ до $+\infty$. Иногда вводят также параметр быстроты $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где $c=1$, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

$\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\approx v$ при $v\ll c$.

В ультрарелятивистском случае $E\gg m$ параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс $p_{\|}=p\cos \alpha$ (где α — угол вылета) следующим образом:

$\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.$

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс $p_{\perp }=p\sin \alpha$ и параметр быстроты:

$E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {ch} \varphi ,$

$p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {sh} \varphi .$

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

$\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

$\gamma =\operatorname {ch} \varphi .$

С увеличением скорости от 0 до $c$ лоренц-фактор $\gamma$ увеличивается от 1 до $+\infty$.

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

$\beta \gamma =\operatorname {sh} \varphi .$

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта $K$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $v_{1}$, а скорость второй относительно первой равна $v'_{2}$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе $K$ через $v_{2}$. При малых (по сравнению со скоростью света $c$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $v_{2}=v_{1}+v'_{2}$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

$v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}}}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c}}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта $K$ равна сумме быстрот:

$\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp}},$ аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ($x_{0}=ict$) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица j определяется соотношением j² = +1) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом z = ρe^jφ = ρ(ch φ + jsh φ), где φ и ρ — действительные. При этом угол φ является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку z, а ρ — интервалом от начала отсчёта до точки z (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через z). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем λ(φ) = e^jφ. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол φ. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

λ(φ)·λ(ψ) = e^jφ·e^jψ = e^{j(φ + ψ)} = λ(φ + ψ).

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

$p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta }{c}}=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,$

где:

• m — масса,
• c — скорость света,
• φ = θ/c — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

$E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta }{c}}=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .$

Скорость в СТО:

$v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta }{c}}=c\cdot \operatorname {th} \varphi .$ Безразмерная скорость $\beta =\operatorname {th} \varphi .$

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

$1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },$

где $z$ — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского (рус.) // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8. — С. 77—84.
• Гришин В. Г. Быстрота // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз.