Гипероператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет обратную функцию — гиперкорень и "определитель" — гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратная операция и "определитель" обобщаются для гипероператора любого порядка.

История[править | править код]

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов такой, что для она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

,
,
;

в стрелочной нотации Кнута[1]:

.

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

Определение[править | править код]

Гипероператор порядка с аргументами и (далее обозначаемый как ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка к последовательности из одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ):

  • сложение и  — увеличение числа на количество единиц, равное :
  • умножение на  — сложение числа с самим собой раз:
  • возведение a в степень b — умножение числа на само себя раз:

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных , и ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по-разному; Кнут использует стрелки , Конвей использует стрелки :

.

Альтернативные операции[править | править код]

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с гипероператором при :

  • ,
  • ,
  • .

Для гипероператора вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для получим гипероператор тетрацию: .

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу: .

Примечания[править | править код]

  1. Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. The first example of a recursive function which is not primitive recursive // Historia Mathematica. — 1979-11. — Т. 6, вып. 4. — С. 380–384. — ISSN 0315-0860. — doi:10.1016/0315-0860(79)90024-7.

Литература[править | править код]

  • Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68—73.
  • Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.