Большие числа

Для термина «большие числа (значения)» см. также другие значения.

О стандартной системе именования больших чисел см. Системы наименования чисел.

Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа больше тысячи, например миллион.

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology). Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом.

История

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до $10^{8\cdot 10^{16}}$. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом».

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число $\approx 10^{10^{32}}$

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол ($10^{100}$) и гуголплекс ($10^{10^{100}}$).

1947 год — Р. Гудштейн дал наименование операциям тетрации ($a\uparrow \uparrow b$), пентации ($a\uparrow \uparrow \uparrow b$) и гексации ($a\uparrow ^{4}b$).

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии.

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию (предел $\omega$ в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма ($G=g(64)=f^{64}(4)$, где $f(n)=3\uparrow ^{n}3$. Функция $g(n)$ имеет скорость роста порядка $\omega +1$).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера(предел $\omega$).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию(предел $\omega ^{2}$).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива (предел $\omega ^{\omega }$) и расширенную нотацию массива (предел $\omega ^{\omega ^{\omega }}$).

2002 год — Х. Фридман дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста $\theta (\Omega ^{\omega }\omega )$.

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до $\varepsilon _{0}$, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмов

Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

Имя числа	Степень десяти	Нотация Кнута	Нотация Конвея	Нотация Бауэрса (нотация массива)	Нотация Сайбиана (гипер-E нотация)	Быстрорастущая иерархия
Гугол	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\rightarrow 100$	$\{10,100\}$	$E100$	$f_{2}(324)$
Гуголплекс	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow 10\uparrow 100$	$10\rightarrow (10\rightarrow 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\#2$	$f_{2}^{2}(324)$
Гиггол (Giggol)	$\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}$	$10\uparrow ^{2}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\#100$	$f_{3}(100)$
Гаггол (Gaggol)	$\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}$	$10\uparrow ^{3}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\#1\#100$	$f_{4}(100)$
Бугол (Boogol)		$10\uparrow ^{100}10$	$10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\#\#100$	$f_{101}(100)$
Число Грэма		$=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{стрелок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}$	$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2$	$\{3,65,1,2\}$	$E(3)3\#\#4\#64$	$f_{\omega +1}(64)$
Траддом (Traddom)			$10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4$	$\{10,10,3,2\}$	$E10\#\#10\#\#4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Биггол (Biggol)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\#\#100\#\#100$	$f_{\omega .2}(100)$
Трултом (Trultom)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11$	$\{10,10,10,3\}$	$E10\#\#\#4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Тругол (Troogol)			$\underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#100$	$f_{\omega ^{2}}(100)$

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа	нотация Бауэрса (BEAF)	нотация Сайбиана	быстрорастущая иерархия
Квадругол (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{3}}(100)$
Квадрексом (Quadrexom)	$\{10,10,10,10,10,10\}$	$E10\#\#\#\#\#10$	$=f_{\omega ^{4}}(10)$
Квинтугол (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{4}}(100)$
Губол (Goobol)	$=\{10,100(1)2\}=$ $=\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}$	$E100\#^{99}100$	$f_{\omega ^{98}}(100)$
Бубол (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{\omega ^{\omega }+99}(100)$
Трубол (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)$
Квадрубол (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)$
Гутрол (Gootrol)	$=\{10,100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{\omega ^{\omega }.2}(100)$
Госсол (Gossol)	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{\omega ^{\omega +1}}(100)$
Моссол (Mossol)	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{\omega ^{\omega +2}}(100)$
Боссол (Bossol)	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{\omega ^{\omega +3}}(100)$
Троссол (Trossol)	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{\omega ^{\omega +4}}(100)$
Дубол (Dubol)	$=\{10,100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}}(100)$
Дутрол (Dutrol)	$=\{10,100(1)(1)3\}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)$
Колоссол (Colossol)	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)$
Тероссол (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)$
Петоссол (Petossol)	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)$
Гонгулус (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)$
Годтосол (Godtothol)	$\{100,100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)$
Годтопол (Godtopol)	$\{100,100(((1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Годоктол (Godoctol)	$\{100,100((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Декотетром (Dekotetrom)	$X\uparrow ^{2}9\&10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Гоппатос (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\&10$	E10#^^#101	$f_{\varepsilon _{0}}(101)$
Тесракросс (Tethracross)	$X\uparrow ^{3}X^{2}\&100$	=E100#^^##100	$f_{\zeta _{0}}(100)$
Тесракубор (Tethracubor)	$X\uparrow ^{4}101\&100$	=E100#^^###100	$f_{\eta _{0}}(100)$
Тесратерон (Tethrateron)	$X\uparrow ^{5}101\&100$	=E100#^^####100	$f_{\varphi (4,0)}(100)$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\&100$	=E100#^^^#100	$f_{\Gamma _{0}}(99)$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\&100$	=E100#^^^^#100	$f_{\varphi (2,0,0)}(99)$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\&100$	=E100#{100}#100	$f_{\varphi (98,0,0)}(99)$
TREE(3)			$f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)$
SCG(13)			$f_{\psi _{\Omega }(\Omega _{\omega })}(13)$

Применение больших чисел в других областях науки

Космология

• Диаметр видимой части Вселенной $8,8\times 10^{26}$м
• Число атомов в видимой части Вселенной $\approx 10^{80}$ (по разным оценкам от 4⋅10⁷⁹ до 10⁸¹).
• Число объёмов Планка ($l_{P}^{3}$, где $l_{P}=1,6\times 10^{-35}$м — планковская длина) в видимой части Вселенной $\approx 4,7\times 10^{184}$
• Диаметр Вселенной в соответствии с некоторыми инфляционными моделями $\approx 10^{10^{12}}$м
• Возможное число вселенных в мультиверсуме по оценке А. Линде и В. Ванчурина в соответствии с хаотической теорией инфляции $10^{10^{10^{7}}}$.

Статистическая механика

• Вероятность того, что в 1 см³ обычного воздуха вследствие случайного хаотического движения молекул объём 1 мм³ в течение 1 секунды будет оставаться абсолютно пустым $1/10^{10^{13}}$ (что соответствует времени ожидания $10^{10^{13}}$ с.)
• Время ожидания появления больцмановского мозга в результате квантовой флуктуации в де-ситтеровском вакууме $\approx 10^{10^{50}}$ лет.
• Время возвращения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, вмещающего чёрную дыру, масса которой равна массе Вселенной согласно некоторым инфляционным моделям $\approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}$ лет.

Теория графов

• Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
• TREE(3)
• SCG(13)

Литература

• David Darling, Agnijo Banerjee. Weird Math: A Teenage Genius and His Teacher Reveal the Strange Connections Between Math and Everyday Life. — Basic Books, 2018-04-17. — 294 с. — ISBN 9781541644793.

Ссылки

• Googology — статья в Googology Wiki.