Градус (геометрия)

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Градус

Окружность с хордой, образованной стороной равностороннего треугольника (выделена красным). Одна шестидесятая этой дуги равна одному градусу. Шесть таких хорд охватывают полный круг

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году. Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления.

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

$1^{\circ }={\frac {2\pi }{\displaystyle {360}}}$ радиан $={\frac {\pi }{\displaystyle {180}}}={\frac {1}{\displaystyle {p}}}\approx {\frac {1}{\displaystyle {57{,}295779513^{\circ }}}}$ $\approx 0{,}0174532925$ (радиан в 1°)

$1^{\circ }={\frac {1}{360}}$ оборота = 0,002(7) оборота = 0,0027777777…

$1^{\circ }={\frac {400}{360}}$ градов = 1,(1) градов = 1,1111111111… градов

Минуты и секунды

Основная статья: Минута дуги

По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом: x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами: y″). Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением тремя штрихами — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).

Минуты и секунды в других системах измерения:

$1'={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60'}}={\frac {1'}{p'}}\approx {\frac {1'}{3437{,}747'}}$ $\approx 2{,}90888208\cdot 10^{-4}~{\text{rad}}$ (1 минута в радианах)

$1''={\frac {2\pi }{\displaystyle {360^{\circ }}\cdot 60'\cdot 60''}}={\frac {1''}{p''}}\approx {\frac {1''}{206264{,}8''}}$ $\approx 4{,}848136811\cdot 10^{-6}~{\text{rad}}$ (1 секунда в радианах).

Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.

Угловая секунда

Одна угловая секунда примерно соответствует углу, под которым виден футбольный мяч с расстояния около 45 километров

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла.

Использование

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается ^s). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1^s=15″.

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой, что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.

Дольные единицы

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению. Однако согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками, в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).

Связь различных угловых единиц измерения

Единица	Величина	Обозначение	Аббревиатура	Радиан (прибл.)
градус	1/360 окружности	°	deg	17,4532925 mrad
минута	1/60 градуса	′	arcmin, amin, ${\hat {'}}$, MOA	290,8882087 µrad
секунда	1/60 минуты	″	arcsec	4,8481368 µrad
миллисекунда	1/1000 секунды		mas	4,8481368 nrad
микросекунда	1 × 10−6 секунды		μas	4,8481368 prad

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP).

См. также

• Град, минута, секунда

Литература

• Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л.  Малые углы // Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.