Правильный треугольник
Стабильная версия была проверена 5 декабря 2022. Имеются непроверенные изменения в шаблонах или файлах.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Regular_triangle_1.svg/220px-Regular_triangle_1.svg.png)
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства[править | править код]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Viervlak-frame.jpg/220px-Viervlak-frame.jpg)
Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Периметр правильного треугольника:
- Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
- Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
- Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
- Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
- В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
- Для равностороннего треугольника T группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, 2π⁄3 и 4π⁄3 вокруг точки O, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).
- На описанной окружности произвольного треугольника существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника , причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
- Равносторонний треугольник является одновременно и равноугольным треугольником, то есть у него равны все внутренние углы.
- Равносторонний треугольник является частными случаем равнобедренного треугольника, а именно: дважды равнобедренным треугольником.
Правильный сферический треугольник[править | править код]
Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]
- Задача Наполеона
- Прямая Симсона одно из свойств
- Теорема Вивиани
- Теорема Морли
- Теорема Наполеона
- Теорема Помпею
- Теоремы Тебо 2 и 3
- Точки Аполлония
- Точки Торричелли
См. также[править | править код]
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Теорема Чевы
- Треугольник
- Треугольник Рёло
Примечания[править | править код]
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |