Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление ещё называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой

$\lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {4\pi q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}$ (СГС),

$\lambda _{\text{D}}=\left\{\sum _{j}{\frac {q_{j}^{2}n_{j}}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}kT_{j}}}\right\}^{-1/2}$ (СИ),

где $q_{j}$ — электрический заряд, $n_{j}$ — концентрация частиц, $T_{j}$ — температура частиц типа $j$, $k$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, $\varepsilon _{r}$ — диэлектрическая проницаемость. Суммирование идёт по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности $\sum _{j}q_{j}n_{j}=0$. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

$n_{\text{D}}={\frac {4\pi }{3}}\lambda _{\text{D}}^{3}\sum _{j}n_{j}.$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

$n_{\text{D}}\thicksim (E_{\text{kinetic}}/E_{\text{coulomb}})^{3/2}.$

Для электролитов это число мало́ ($n_{D}\thicksim 10^{-4}$). Для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы физической кинетики для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из $N$ различных типов частиц частицы $j$-й разновидности переносят заряд $q_{j}$ и имеют концентрацию $n_{j}(\mathbf {r} )$ в точке $\mathbf {r}$. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью $\varepsilon _{r}$. Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом $\Phi (\mathbf {r} )$, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} ),$

где $\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал $\Phi (\mathbf {r} )$, но также движутся под действием кулоновской силы $-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой $T$, тогда концентрации зарядов $n_{j}(\mathbf {r} )$ могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация $j$-й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right),$

где $n_{j}^{0}$ средняя концентрация зарядов типа $j$. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right).$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи ($q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll kT$) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{kT}}.$

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}}\right)\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j},$

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля. Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

$\lambda _{\text{D}}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,kT}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2},$

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

Плазма	Плотность ne (м−3)	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (T)	Дебаевская длина λD (м)
Газовый разряд (пинчи)	1016	104	—	10−4
Токамак	1020	108	10	10−4
Ионосфера	1012	103	10−5	10−3
Магнитосфера	107	107	10−8	102
Солнечное ядро	1032	107	—	10−11
Солнечный ветер	106	105	10−9	10
Межзвёздное пространство	105	104	10−10	10
Межгалактическое пространство	1	106	—	105

См. также

• Двойной электрический слой

Литература

• Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. — 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. — 189 с.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.