Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.
Определим форму объёма


где
— неотрицательный скаляр на многообразии
, а
— полностью антисимметричный символ.
.
Даже в отсутствие метрики, если
, можно определить контравариантные компоненты формы объёма.


здесь антисимметричный символ
совпадает
.
В присутствии метрики
с поднятыми индексами может отличаться от
на знак:
. Здесь и далее
Введём операцию антисимметризации:
. Суммирование ведётся по всем перестановкам
индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности
. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры:
;
.
Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:
.
Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки
только по упорядоченным наборам не деля на
, это связано с тем, что разные наборы индексов
, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.
Определим теперь тензоры:


Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.
Используя форму объёма
и поливектор
, можно ввести операцию
, превращающую поливектор
степени
в дифференциальную форму
степени
, и обратную операцию
, превращающую форму
степени
в поливектор
степени


Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

Поскольку
и
, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q
Помимо операторов
и
введём пару операторов:
и
, отличающихся от них знаком.


Звезда Ходжа в присутствии метрики[править | править код]
Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика
. Обозначим
.
Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой
называется форма
В компонентах:


Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.
На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:


В присутствие метрики оператор дивергенции
выражается через оператор ковариантной производной
, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

Иногда операцию
(внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию
— дивергенцией. Для 1-формы операция
задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)
Лапласиан
от
-формы
определяется формулой:

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

Для скаляра
. Если
, то по формуле Бохнера для произвольной метрики в
появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае

где
— тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.