Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$, или $k$-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $(0,k)$ на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$-форм на многообразии $M$ обычно обозначают $\Omega ^{k}(M)$.

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени $k$, или просто $k$-форма, — это гладкое сечение $\wedge ^{k}T^{*}M$, то есть $k$-й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение $k$-формы на наборе из $k$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение $k$-формы в точке $x$ многообразия есть кососимметрический $k$-линейный функционал на $T_{x}M$.

Через локальные карты

$k$-формой на $\mathbb {R} ^{n}$ будем называть выражение следующего вида

$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

где $f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}$ — гладкие функции, $dx^{i}$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^{i}$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$ ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для $k$-формы

  $\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\dots ,x^{n})dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это $(k+1)$-форма, в координатах имеющая вид

$d\omega =\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть $0$-форм, затем дифференциал $1$-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по $R$-линейности и градуированному правилу Лейбница:
  • $dF(v)=v(F)$ — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ — значение дифференциала $1$-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
  • $\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})$ — где верхние индексы $k$ и $p$ обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой $(k-1)$-формы.
• Факторгруппа $H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\omega$ степени $n$ по векторному полю $\mathbf {v}$ (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

  $i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})$

Свойства

• Для любой формы справедливо $d(d\omega )=0$.

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})$

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

• Формулы Картана. Для произвольной формы $\omega$ и векторных полей $X,Y,Z$ выполняются следующие соотношения

  ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$

  ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ (волшебная формула Картана)

  ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$

  ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$

  $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

где ${\mathcal {L}}$ обозначает производную Ли.

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_{p}(M)$ в множество вещественных чисел $\mathbb {R}$:

  $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R}$

• Форма объёма — пример $n$-формы на $n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$-многообразии, такая что $\omega ^{n}\not =0$.

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а $*$ — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

$\operatorname {rot} \,v=*\,d\,I(v)$

$\operatorname {div} \,v=*^{-1}d\,*(v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Основная статья: Дифференциальные формы в электромагнетизме

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

${\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

${\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}$

$\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $*\mathbf {F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$, называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X\in M$ изоморфизм $I$ кокасательного $T_{X}^{*}M$ и касательного $T_{X}M$ пространств по правилу

$dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M$,

где $dH$ — дифференциал функции $H$. Векторное поле $IdH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F,G]=\omega (IdF,IdG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$ со значениями в векторном расслоении $\pi \colon E\to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $TM$.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1973.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса