Континуум (теория множеств)

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: ${\mathfrak {c}}$. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства

• Континуум есть мощность булеана счётного множества.
• Как мощность булеана счётного множества, континуум является бесконечной мощностью, превосходящей счётную. В теории множеств с аксиомой выбора континуум, как и любая бесконечная мощность, является алефом, и, при обозначении ординального номера континуума в ряду алефов буквой $\zeta$ (${\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }$), выполняется $\zeta >0$, то есть $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}$.
• В ряду бесконечных булеанов $\gimel _{\xi }$ континуум ${\mathfrak {c}}=\gimel _{1}$.
• Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется континуум-гипотезой. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ или $\gimel _{1}=\aleph _{1}$ или $\zeta =1$, где $\zeta$ — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как $\gimel _{\xi }=\aleph _{\xi }$ для любого ординала $\xi$.
• Счётная декартова степень континуума — континуум: ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$, и, следовательно, любая ненулевая конечная декартова степень континуума — так же континуум: $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$.
• В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$ регулярен.
• Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение класса мощностей (как большого частичного порядка), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по Пифагору», то есть в теории множеств с аксиомой выбора $\aleph _{1}$ регулярен. Как следствие, континуум (как и $\aleph _{1}$) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.
• При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора конфинальность континуума — несчётна.

Происхождение термина

Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.

Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».

Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).

Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются ${\mathfrak {c}}_{\xi }$, где $\xi$ — ординальный номер континуума.

Минимальное пополнение порядка до континуума строится заполнением щелей дополнительными точками, а скачков — отрезками (0, 1) без концов.

В последующем термин «континуум», выйдя за пределы специфических порядковых рассмотрений, в теории множеств (а вслед за ней — и в остальной математике) сузился до собственно вещественной прямой, а «мощность континуума» ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$, стала, соответственно, её мощностью. В дальнейшем «континуумом» стали называть уже саму мощность континуума ${\mathfrak {c}}$. В топологии этот термин, напротив, расширился до любой связной компактной хаусдорфовой топологии (связного компакта), безотносительно к тому, имеет ли данная топология порядковое происхождение, при этом некоторые континуумы в старом смысле (например, вещественная прямая с открытыми концами) перестали считаться таковыми из-за потери компактности. В настоящее время использование термина «континуум» в исходном смысле встречается в основном лишь в сравнительно старой литературе.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки вещественной прямой $(-\infty ,+\infty )$ (множество вещественных чисел $\mathbb {R}$).
• Все точки отрезка $[0,1]$.
• Все точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ (или $n$‑мерного пространства $\mathbb {R} ^{n}$, $n\neq 0$).
• Множество всех иррациональных чисел.
• Множество всех трансцендентных чисел.
• Множество всех подмножеств счётного множества.
• Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
• Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
• Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
• Множество всех непрерывных функций $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.
• Множество всех открытых подмножеств плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ (или $\mathbb {R} ^{n}$).
• Множество всех замкнутых подмножеств плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ (или $\mathbb {R} ^{n}$).
• Множество всех борелевских подмножеств плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ (или $\mathbb {R} ^{n}$).
• Канторово множество