Канторово множество

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:

Пусть $P'$ обозначает множество предельных точек множества $P$. Существует ли нигде неплотное множество $P$, такое что пересечение

$P\cap P'\cap P''\cap \dots$

не пусто?

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка $C_{0}=[0,1]$ удалим среднюю треть, то есть интервал $(1/3,2/3)$. Оставшееся точечное множество обозначим через $C_{1}$. Множество $C_{1}=[0,1/3]\cup [2/3,1]$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через $C_{2}$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем $C_{3}$. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств $C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset \dots$. Пересечение

$C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}$

называется канторовым множеством.

Множества $C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ C_{4},\ C_{5},\ C_{6}$

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например $0{,}1_{3}\in C$, так как $0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3}$.

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек $\{x_{n}\}$ такие, что для любого $n$

$x_{n+1}=x_{n}/3$ или $x_{n+1}-1=(x_{n}-1)/3$.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — $\{0;1\}^{\aleph _{0}}$; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией).

Свойства

• Канторово множество замкнуто.
• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
• Канторово множество континуально.
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную $\ln 2/\ln 3\approx 0{,}63$. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
• Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
• Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
• Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.

Вариации и обобщения

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ — ${\mathfrak {m}}$-я степень двухточечного дискретного пространства $\{0;1\}^{\mathfrak {m}}$. Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше ${\mathfrak {m}}$. Каждый хаусдорфов компакт веса не больше ${\mathfrak {m}}$ есть непрерывный образ подпространства канторова куба $\{0;1\}^{\mathfrak {m}}$.

Диадический компакт — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского
• Дисконтинуум

Литература

• Энгелькинг Р. . Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.