Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть $E$, $B$ и $F$ — топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение $\pi \colon E\to B$ называется локально тривиальным расслоением пространства $E$ над базой $B$ со слоем $F$, если для всякой точки базы $x\in B$ существует окрестность $U\subset B$, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм $\phi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F$, такой что коммутативна диаграмма

.

Здесь $\mathrm {proj_{1}} :\,U\times F\to U$ — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство $E$ также называется тотальным пространством расслоения, или расслоенным пространством.

Связанные определения

• Сечение расслоения — это отображение $s:B\to E$, такое что $\pi \circ s=\mathrm {id} _{B}$. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть $M$ — многообразие, а $E\to M$ — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении $TM$. Тогда сечение расслоения $E$ — это векторное поле без нулей на $M$. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
• Множество $F_{x}=\pi ^{-1}\{x\}$ называется слоем расслоения $\pi$ над точкой $x\in B$. Каждый слой гомеоморфен пространству $F$, поэтому пространство $F$ называется общим (или модельным) слоем расслоения $\pi$,
• Гомеоморфизм $\varphi$, отождествляющий ограничение расслоения $\pi$ над окрестностью точки $x$ с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения $\pi$ над окрестностью точки $x$.
• Если $\{U_{\alpha }\}$ — покрытие базы $B$ открытыми множествами, и $\varphi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F$ — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}$ называется тривиализующим атласом расслоения $\pi :E\to B$.
• Предположим локально тривиальное расслоение $\pi :E\to B$ снабжено покрытием $\{U_{\alpha }\}$ базы $B$ с выделенной тривиализацией $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{-1}(U_{\alpha })$ и сужение любого отображения сличения $\phi _{\alpha }^{-1}\circ \phi _{\beta }$ на слой принадлежит некоторой подгруппе $G$ группы всех автоморфизмов $F$. Тогда $\pi$ называется локально тривиальным расслоением со структурной группой $G$.

Примеры

• Тривиальное расслоение, то есть проекция $B\times F\to B$ на первый сомножитель.
• Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Если $G$ — топологическая группа, а $H$ — её замкнутая подгруппа, причём факторизация $\pi :G\to G/H$ имеет локальные сечения, то $\pi$ является расслоением со слоем $H$ (Steenrod 1951, §7).
• Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение $S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}$. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой $U(1)$, а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство $B$), общий слой (пространство $F$) и отображения перехода (1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}$) для какого-нибудь открытого покрытия пространства $B$. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида $\{(\alpha ,x,f_{\alpha }):\,x\in U_{\alpha },\,f_{\alpha }\in F\}$ с правилом отождествления:

$(\alpha ,x,f_{\alpha })=(\beta ,x,f_{\beta })$, если $f_{\beta }=u_{\beta \alpha }f_{\alpha }$

Свойства

• Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы $\pi :E\to B$ — локально тривиальное расслоение, отображения $g\colon M\to B$ и $f\colon M\to E$, так что $g=\pi \circ f$, и гомотопия ${\tilde {g}}\colon M\times [0;1]\to B$ отображения $g$ (то есть ${\tilde {g}}(m,0)=g(m)$). Тогда существует гомотопия ${\tilde {f}}\colon M\times [0;1]\to E$ отображения $f$, такая что ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$, то есть следующая диаграмма коммутативна

  ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde {g}}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}$

• Пусть имеется локально тривиальное расслоение $E\to B$ со слоем $F$ (иногда записываемое формально как $F\to E\to B$). Тогда последовательность гомотопических групп точна:

$\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)$

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$, то $u_{\beta \alpha }(x)=u_{\beta \gamma }(x)\circ u_{\gamma \alpha }(x)$.

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа $\mathrm {Aut} \,F$ некоммутативна, одномерные когомологии $H^{1}(B,\mathrm {Aut} \,F)$ не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха $C^{0}(B,\mathrm {Aut} \,F)$:

  $u_{\alpha \beta }'(x)=f_{\alpha }(x)\circ u_{\alpha \beta }(x)\circ f_{\beta }(x)^{-1}$,

где $\{f_{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}$ — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха $\{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}$. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения $\pi :X\to B$ и непрерывного отображения $f:B'\to B$ индуцированное расслоение $f^{*}(\pi )$ является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства $E,B,F$ — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение $\pi$ — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства $E,B,F$ — комплексные многообразия, отображение $\pi$ — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
• Главное расслоение.

См. также

• Теория Янга — Миллса

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0