Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция $S^{3}$ на $\mathbb {R} ^{3}$. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на $S^{2}$ (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции $S^{3}$ (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}$.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы $S^{3}$ как единичной сферы в $\mathbb {C} ^{2}$, а двумерной сферы $S^{2}$ как комплексной проективной прямой $\mathbb {C} P^{1}$. Тогда отображение:

$p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы $S^{1}$:

$\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})$,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

$S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}$.

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера $S^{2n+1}$ расслаивается со слоем-окружностью над $\mathbb {C} P^{n}$. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}$   (вещественная),

$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}$   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}$   (кватернионная),

$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}$   (октавная).

Такие расслоения сферы $S^{n}$, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях $n\in \{1,3,7,15\}$. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в $\mathbb {R} ^{n}$ без делителей нуля может быть определено только при $n\in \{1,2,4,8\}$.

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее
• Сфера Милнора

Ссылки

• Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8
• Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math
• Отображение Хопфа на сайте Mathworld