Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть $K_{0}$ и $K_{1}$ — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}$, $\lambda \in [0,1]$, то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств $K_{0}$ и $K_{1}$ в отношении $\lambda$ к $(1-\lambda )$. Тогда функция

$f(\lambda )={\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} K_{\lambda }}}$

есть вогнутая функция от $\lambda$.

Более того, функция $f(\lambda )$ линейна в том и только в том случае, когда $K_{0}$ и $K_{1}$ гомотетичны.

Замечания

• Неравенство легко выводится из своего частного случая

  ${\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} (A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} A}}+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}$

для любых компактных выпуклых тел $A$ и $B$ — в n-мерном пространстве.

Следствия

• Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу $W$ и к его центральносимметричной копии $W'$.
• Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским, обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником.

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман. В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

• Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

• В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. — Наука, 1980.
• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.