Положительно определённая матрица

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Формулировки

Пусть $M$ будет эрмитовой матрицей размерности $n\times n$. Обозначим транспонированный вектор $a$ посредством $a^{T}$, а сопряжённый транспонированный вектор — посредством $a^{*}$.

Матрица $M$ является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1.	Для всех ненулевых комплексных векторов $z\in \mathbb {C} ^{n}$, ${\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0.$ Отметим, что величина $z^{*}Mz$ всегда вещественна, поскольку $M$ — эрмитова матрица.
2.	Все собственные значения $M$, $\lambda _{i},i=1,2,\dots ,n$, положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица $D$, переведённая в другую систему координат (то есть $M=P^{-1}DP$, где $P$ — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы $M$, образующие базис). По этому определению $M$ — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали $D$ (или, другими словами, собственные значения $M$) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов $M$, действие $M$ на вектор $z\in \mathbb {C} ^{n}$ равносильно покомпонентному умножению $z$ на положительный вектор.
3.	Полуторалинейная форма $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ определяет скалярное произведение в $\mathbb {C} ^{n}$. Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в $\mathbb {C} ^{n}$ образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.
4.	$M$ — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов ${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$ для какого-то $k$. Другими словами, элементы $M$ определены следующим образом $M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.$ Таким образом, $M=A^{*}A$, где $A$ инъективная, но не обязательно квадратная матрица.
5.	Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра). В соответствии с 5 критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера ${\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}.$

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство $\mathbb {C} ^{n}$ может быть заменено на $\mathbb {R} ^{n}$, а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть $K$ будет полем вещественных ($\mathbb {R}$) или комплексных ($\mathbb {C}$) чисел, а $\mathbb {V}$ будет векторным пространством над $K$. Эрмитова форма

$B:V\times V\rightarrow K$

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным $B\left(x,y\right)$, будет $B\left(y,x\right)$. Такая функция $B$ называется положительно определённой, когда $B\left(x,x\right)>0$ для любого ненулевого $x\in V$.

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы

Эрмитова матрица $M$ размерности $n\times n$ будет называться отрицательно определённой, если

$x^{*}Mx<0$

для всех ненулевых $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых $x\in \mathbb {C} ^{n}$).

$M$ будет называться положительно полуопределённой (или неотрицательно определённой), если

$x^{*}Mx\geq 0$

для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (или, эквивалентным образом, для всех $\mathbb {C} ^{n}$).

$M$ будет называться отрицательно полуопределённой (или неположительно определённой), если

$x^{*}Mx\leq 0$

для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (или, эквивалентным образом, для всех $\mathbb {C} ^{n}$).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица $M$ будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы $A$ выполняется следующее: $A^{*}A$ — положительно полуопределённая, а $\operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(A^{*}A\right)$. Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица $M$ может быть выражена как $M=A^{*}A$ (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства

Введём обозначение $M\succeq 0$ для положительно полуопределённых матриц и $M\succ 0$ — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц $M,N$ будем писать $M\succeq N$, если $M-N\succeq 0$, то есть $M-N$ положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение $\succeq$ определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка $M\succ N$.

1.	Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если $M\succeq N\succ 0$, то $N^{-1}\succeq M^{-1}\succ 0$.
2.	Если $M$ — положительно определённая матрица и $0<r\in \mathbb {R}$, то $r\cdot M$ положительно определённая матрица. Если $M$ и $N$ — положительно определённые матрицы, то произведения $MNM$ и $NMN$ тоже положительно определённые. Если $MN=NM$, то $MN$ тоже положительно определённая.
3.	Если $M$ — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали $m_{ii}$ положительны. Следовательно, $\operatorname {trace} \left(M\right)>0$. Более того, $|m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}$.
4.	$M$ — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая $B\succ 0$ такая, что $B^{2}=M$. Обозначим $B=M^{\frac {1}{2}}$. Такая матрица $B$ единственна при условии, что $B\succ 0$. Если $M\succ N\succ 0$, то $M^{\frac {1}{2}}>N^{\frac {1}{2}}>0$.
5.	Если $M$ и $N$ — положительно определённые матрицы, то $M\otimes N\succ 0$ (где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера).
6.	Если $M$ и $N$ — положительно определённые матрицы, то $M\circ N\succ 0$ (где $\circ$ обозначает произведение Адамара). Когда $M,N$ вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма): $\det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}$.
7.	Если $M$ — положительно определённая матрица, а $N$ — эрмитова матрица и $MN+NM\succeq 0$ $\left(MN+NM\succ 0\right)$, то $N\succeq 0$ $\left(N\succ 0\right)$.
8.	Если $M$ и $N$ — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то $\operatorname {trace} \left(MN\right)\succeq 0$.
9.	Если $M$ — положительно определённая вещественная матрица, то существует число $\delta >0$ такое, что $M\succeq \delta I$, где $I$ — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству $x^{T}Mx>0$ для всех ненулевых вещественных векторов $x$. Такой, к примеру, является матрица

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},$

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов $x=(x_{1},x_{2})^{T}$

${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0.$

Обобщая, $x^{T}Mx>0$ для всех ненулевых вещественных векторов $x$ тогда и только тогда, когда симметрическая часть ${\frac {M+M^{T}}{2}}$ положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства $x^{*}Mx>0$. Если $x^{*}Mx>0$ для всех ненулевых комплексных векторов $x$, тогда матрица $M$ эрмитова. То есть если $x^{*}Mx>0$, то $M$ эрмитова. С другой стороны, $\operatorname {Re} \left(x^{*}Mx\right)>0$ для всех ненулевых комплексных векторов $x$ тогда и только тогда, когда эрмитова часть ${\frac {M+M^{*}}{2}}$ положительно определённая.

См. также

• Сигнатура квадратичной формы
• Квадратный корень
• Дополнение Шура
• Разложение Холецкого

Литература

• R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
• R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.