Полугруппа

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $(S,\cdot )$. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу $S$, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент $e\not \in S$ и определив $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ полученный моноид обычно обозначается как $S^{1}$.

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Определение

Полугруппой является (непустое) множество ${\mathfrak {U}}$, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ определён новый элемент, называемый их произведением $U=XY\in {\mathfrak {U}}$, причём для любых $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ всегда выполнено $(XY)Z=X(YZ)$.

Виды полугрупп

Полугруппа ${\mathfrak {U}}$ называется коммутативной (или абелевой), если для любых $A,B\in {\mathfrak {U}}$ всегда выполнено $AB=BA$.

Важные классы образуют полугруппы с сокращением:

• с левым сокращением, если при любых $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ из $XA=XB$ всегда следует $A=B$;
• с правым сокращением, если при любых $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ из $AY=BY$ всегда следует $A=B$;
• с двусторонним сокращением, если является полугруппой и с левым, и с правым сокращением одновременно.

Элемент $A$ полугруппы ${\mathfrak {U}}$ называется регулярным, если в ${\mathfrak {U}}$ найдется такой элемент $X$, что $AXA=A$. Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.

Элемент $A$ полугруппы ${\mathfrak {U}}$ называется вполне регулярным, если в ${\mathfrak {U}}$ найдется такой элемент $X$, что $AXA=A$ и $AX=XA$. Вполне регулярная полугруппа — полугруппа, все элементы которой вполне регулярны.

Полугруппа ${\mathfrak {U}}$, в которой для любых $A,B\in {\mathfrak {U}}$ в ${\mathfrak {U}}$ всегда найдутся такие $X,Y$, что $XA=B$ и $AY=B$, является группой.

Структура полугруппы

Если $A,B\subset S$, то принято обозначать $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$.

Подмножество $A$ полугруппы $S$ называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из $A$ их произведение также принадлежало $A$.

Если подмножество $A$ непусто и $AS$ (соответственно, $SA$) лежит в $A$, то $A$ называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если $A$ является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

$a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a} }}$.

Для степени элемента справедливо соотношение $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{nm},\forall n,m\in \mathbb {N}$.

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов $a$ и $b$ определено правое $(a/b)$ и левое $(b/a)$ частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого $aa=a$).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение $f$ из полугруппы $R$ в полугруппу $S$ называется гомоморфизмом, если $\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$. Две полугруппы $S$ и $T$ называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм $f\colon S\to T$.

Отношения Грина

Основная статья: Отношения Грина

В 1951 году Джеймс Грин ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе $S$ определяются следующими формулами:

$aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}$

$aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b$

$aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}$

$H=L\cap R$

$D=R\vee L$

Из определения непосредственно следует, что $R$ — правая конгруэнция, а $L$ — левая конгруэнция. Также известно, что $D=R\circ L=L\circ R$. Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы $a$ и $b$ R-эквивалентны, $u$, $v$ такие, что $au=b$, $bv=a$ и $p_{u},p_{v}$ — соответствующие правые сдвиги, то $p_{u},p_{v}$ — взаимно обратные биекции $L_{a}$ на $L_{b}$ и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

Литература

• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.