Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега $L^{p}(Q)$, имеющих обобщённые производные заданного порядка $k$ оттуда же.

При $1\leqslant p\leqslant \infty$ пространства Соболева $W_{p}^{k}(Q)$ являются банаховыми пространствами, а при $p=2$ — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение $H^{k}(Q)=W_{2}^{k}(Q)$.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Определение

Для области $Q\subset R^{n}$ норма в соболевском пространстве $W_{p}^{k}(Q)$ порядка $k\geqslant 1$ и суммируемых со степенью $1\leqslant p<\infty$ вводится по следующей формуле:

$\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\int \limits _{Q}|D^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},$

а при $p=\infty$ норма выглядит следующим образом:

$\|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\alpha }u|,$

где $\alpha$ — это мультииндекс, а операция $D^{\alpha }$ есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева $W_{p}^{k}(Q)$ определяется как пополнение гладких функций в $W_{p}^{k}(Q)$-норме.

Примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть $Q=\{x\in R^{2}:|x|<1/2\}$ — круг на плоскости. Функция $u(x)=\ln |\ln |x||$ принадлежит пространству $H^{1}(Q)$, но имеет разрыв второго рода в точке $x=0$.

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства $H^{1}(a,b)$ являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства $H^{1}(a,b)$ произведение этих функций также принадлежит $H^{1}(a,b)$. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Свойства

• Для любой области $Q'\subset Q$ из $f\in W_{p}^{k}(Q)$ следует, что $f\in W_{p}^{k}(Q')$.
• Если $f\in W_{p}^{k}(Q)$ и $a\in C^{k}({\overline {Q}})$, то $af\in W_{p}^{k}(Q)$.
• Если $f\in W_{p}^{k}(Q)$ финитная в $Q$, то продолжение этой функции нулем принадлежит $W_{p}^{k}(Q')$ для любой $Q\subset Q'$.
• Пусть $y=y(x)$ есть гладкое и взаимно однозначное отображение области $Q$ на область $\Omega$ и $F\in W_{p}^{k}(\Omega )$, тогда функция $f(x)=F(y(x))$ принадлежит пространству $W_{p}^{k}(Q)$.
• Пространства Соболева $W_{p}^{k}(Q)$ являются сепарабельными пространствами.
• Если граница области $Q$ удовлетворяет условию Липшица, то множество $C^{\infty }({\overline {Q}})$ плотно в $W_{p}^{k}(Q)$.
• Пусть $u,v\in W_{p}^{k}(Q)$, где $Q$ — ограниченная область в $R^{n}$, звездная относительно некоторого шара. Если $kp>n$, то их поточечное произведение $uv$, определенное почти всюду в $Q$, принадлежит пространству $W_{p}^{k}(Q)$, более того, существует положительная константа $C$, зависящая только от $k,n,p$ такая, что

$\|uv\|_{W_{p}^{k}}\leq C\|u\|_{W_{p}^{k}}\|v\|_{W_{p}^{k}}$, иными словами, $W^{k,p}(Q)$ является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой $\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)^{*}}=C\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}$.

• Пространства $W_{p}^{k}(Q)$ при $1<p<\infty$ являются рефлексивными пространствами.
• Пространства $W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)$ являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области $Q\subset R^{n}$ удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если $k+n/p<s$, то имеет место непрерывное вложение

$W_{p}^{s}(Q)\subset C^{k}({\overline {Q}})$.

Здесь $k$ предполагается целым и неотрицательным, а $s$ может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова

Пусть область $Q$ ограничена, $s_{1}>s_{2}$, $1<p_{1},p_{2}<\infty$ и $n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}$, тогда: вложение $W_{p_{1}}^{s_{1}}(Q)\subset W_{p_{2}}^{s_{2}}$ вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

История

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева $H_{0}^{1}(Q)$ — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Вариации и обобщения

Пространства Соболева $H_{0}^{k}(Q)$

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через $H_{0}^{k}(Q)$ и вводятся как замыкания множества $C_{0}^{\infty }(Q)$ по норме пространства $H^{k}(Q)$, где $C_{0}^{\infty }(Q)$ есть множество финитных в $Q$ бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства $H_{0}^{k}(Q)$ являются замкнутыми подпространствами в $H^{k}(Q)$. При наличии определенной гладкости границы области $Q$ это пространство совпадает с множеством функций из $H^{k}(Q)$, имеющих нулевой след на границе области $Q$ и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до $k-1$-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева $H^{s}(R^{n})$ можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции $f(x)\in L^{2}(R^{n})$ определено преобразование Фурье ${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx$, причем, ${\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})$. Пространство Соболева $H^{s}(R^{n})$ определяется следующим образом:

$H^{s}(R^{n})=\{f\in L^{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/2}{\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})\}$.

Пространства Соболева на торе

Пусть $T^{n}$ — $n$-мерный тор. Пространство Соболева на торе $T^{n}$, то есть $2\pi$-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

$H^{k}(T^{n})=\{f\in L^{2}(T^{n}):\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{n}=-\infty }^{\infty }(1+m_{1}^{2k}+m_{2}^{2k}+\dots +m_{n}^{2k})|f_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}|^{2}<\infty \}$.

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть $W_{p}^{s}$ или $H^{s}$.

В случае 0<s<1 пространство $W_{p}^{s}$ состоит из функций $f\in L^{p}(Q)$, $Q\subset R^{n}$ таких, что

$\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{L^{p}(Q)}^{p}+\int _{Q}{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.$

Для нецелого s>1 положим $s=[s]+\sigma$, где $[s]$ — целая часть s. Тогда $W_{p}^{s}(Q)$ состоит из элементов $W_{p}^{[s]}(Q)$ таких, что $D^{\alpha }f\in W_{p}^{\sigma }(Q)$ для $|\alpha |=[s]$ с нормой

$\|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{W_{p}^{[s]}(Q)}^{p}+\sum \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W_{p}^{\sigma }(Q)}^{p}\right)^{1/p}.$

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство $H^{-k}(Q)$ определяется по формуле:

$H^{-k}(Q)=\left(H_{0}^{k}(Q)\right)'$

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство $H^{-1}(-1,1)$ содержит $\delta$-функцию Дирака.

Литература

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976