Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной: $f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функция, или дробно-рациональная функция, или рациональная дробь — это числовая функция вида

$\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),$

где $\mathbb {U}$ — комплексные ($\mathbb {C}$) или вещественные ($\mathbb {R}$) числа, $R(u)$ — рациональное выражение от $u$. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень).

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов $P(u)$ и $Q(u)$:

$R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},$

где $Q(u)\not \equiv 0.$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов $P(u)$ и $Q(u)$:

$a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ и $b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$.

Частные случаи

• Целая рациональная функция — функция вида

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},$

где переменная $x$ действительна.

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.$

• Преобразование Кэли

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right),$

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским.

Обобщения

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

$\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},$

где $Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0$.

• Абстрактные рациональные функции

$R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_{2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},$

где $F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}$ — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},$ и $B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}$ — числовые коэффициенты.

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем.

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике.

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов $f(x)$ и $g(x)$ делится на $\varphi (x)$, причём $f(x)$ и $\varphi (x)$ взаимно просты, то $g(x)$ делится на $\varphi (x)$.

1. Известно, что многочлены $f(x)$ и $\varphi (x)$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены $u(x)$ и $v(x)$, что

$f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.$

2. Умножим это равенство на $g(x)$:

$[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).$

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на $\varphi (x)$, следовательно, $g(x)$ также делится на $\varphi (x)$.

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

то есть

$f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).$

то:

• из взаимной простоты $f(x)$ и $g(x)$ следует, что $\varphi (x)$ делится на $f(x)$;
• из взаимной простоты $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ следует, что $f(x)$ делится на $\varphi (x)$.

В итоге получаем, что $f(x)=c\varphi (x).$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

$c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),$

или

$g(x)=c\psi (x).$

Итак, получили, что

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.$

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби.

Доказательство

Докажем последнее утверждение.

1. Для любой рациональной дроби ${\frac {f(x)}{g(x)}}$, поделив числитель на знаменатель, получим:

$f(x)=g(x)q(x)+r(x),$

причём степень $r(x)$ меньше степени $g(x).$ Поделим обе части равенства на $g(x)$, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}.$

2. Докажем единственность этого представления.Если имеет место также следующее равенство:

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

где также степень $\varphi (x)$ меньше степени $\psi (x)(x)$, то произведём вычитание:

$q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.$

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень $\varphi (x)$ меньше степени $\psi (x)$, а степень $r(x)$ меньше степени $g(x)$, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда $q(x)-q'(x)=0$ и

${\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.$

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ простейшая, если её знаменатель $g(x)$ представляет собой степень неприводимого многочлена $p(x)$:

$g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,$

а степень числителя $f(x)$ меньше степени $p(x)$. Имеют место быть две теоремы.

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрировании;
• при разложении в ряд Тейлора;
• при разложении в ряд Лорана;
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби.

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь ${\frac {f(x)}{g(x)}},$ где:

$f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,$

$g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.$

Решение. 1. Легко проверить, что

$g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),$

причём $x+2,$ $x-1,$ $x^{2}+1$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.$

Осталось найти числа $A$, $B,$ $C,$ $D$ и $E.$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

$f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=$

$=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+$

$+B(x+2)(x^{2}+1)+$

$+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+$

$+Dx(x+2)(x-1)^{2}+$

$+E(x+2)(x-1)^{2}.$

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными $A$, $B,$ $C,$ $D$ и $E,$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $x$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве $x=-2,$ получаем $45A=135,$ откуда $A=3.$ Полагая $x=1,$ получаем $6B=6,$ то есть $B=1.$ Полагая независимо $x=0$ и $x=-1,$ получаем систему

$\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.$

Отсюда $D=1.$ Положим $x=2,$ получаем $20C+4E=-52.$ Возникает система

$\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.$

откуда $C=-2,$ $E=-3.$ Таким образом,

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.$

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения $(x-a)^{k}$ ($a$ — вещественный корень $Q(x)$) либо $(x^{2}+px+q)^{k}$ (где $x^{2}+px+q$ не имеет действительных корней), причём степени $k$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене $Q(x)$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

Источники

• Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
• Дробно-рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 387.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Жуковского функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 426.