Репьюниты

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа $R(b,n)$, запись которых в системе счисления с основанием $b>1$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются $R_{n}$: $R_{1}=1$, $R_{2}=11$, $R_{3}=111$ и т. д., и общий вид для них:

$R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях R_n, которые не делят R_k для всех k < n)

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Свойства

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов $R_{n}$ для n, равных:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность A004023 в OEIS)

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения $R_{i}\cdot R_{j}$ при $9\geq i\geq j$ получается палиндромическое число вида $(12\ldots j\ldots 21)$ из $i+j-1$ цифр с цифрой $j$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
• Всякое положительное кратное репьюнита $R_{n}$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: $1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}$. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — $R_{5}$.

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.
• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.