Симметрическая разность

Не следует путать с Разность множеств.

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества $A$ и $B$, их симметрическая разность есть объединение элементов $A$, не входящих в $B$, с элементами $B$, не входящими в $A$. На письме для обозначения симметрической разности множеств $A$ и $B$ используется обозначение $A\bigtriangleup B$, реже используется обозначение $A\,{\dot {-}}\,B$ или $A+B$.

Определение

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A\bigtriangleup B$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).$

• симметрическая разность двух заданных множеств $A$ и $B$ — это такое множество $A\bigtriangleup B$, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

$A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).$

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

$A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;$

• Симметрическая разность ассоциативна:

$\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);$

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

$A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);$

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

$A\bigtriangleup \varnothing =A;$

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

$A\bigtriangleup A=\varnothing ;$

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем $\mathbb {Z} _{2}.$
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• $\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
• $\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
• $\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

$A\cup B=A\bigtriangleup B\bigtriangleup \left(A\cap B\right),$

$A\setminus B=A\bigtriangleup \left(A\cap B\right).$

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

$(A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B$

Пример

Пусть

$A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.$

Тогда

$A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.$

См. также

• Операции над множествами

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.